---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 2 of Lemma Kripke2b


1. a : ℕ ⟶ ℕ
2. ∀P:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℙ. ((P a) ⇒ ⇃(∃k:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((a = g ∈ (ℕk ⟶ ℕ)) ⇒ (P g))))
3. init0(a)
4. increasing-sequence(a)
5. ∀m:ℕ. ∃n:ℕ. ((a n) ≥ m )
6. k : ℕ
7. F : ∀b:{b:ℕ ⟶ ℕ| a = b ∈ (ℕk ⟶ ℕ)} . ∃n:ℕ. ((b n) ≥ ((a k) + 1) )
8. n : ℕ
9. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕ0 ⟶ 𝔹)) ⇒ ((kripke2b-baire-seq(a;k;F) f) = (kripke2b-baire-seq(a;k;F) g) ∈ ℕ))
10. 0 < k
11. ¬(k = 1 ∈ ℕ)
⊢ False
BY
{ ((InstHyp [⌜baire2cantor(a)⌝;⌜change-from1(a)⌝] (-3)⋅ THENA Auto)
   THEN Thin (-4)⋅
   THEN RepUR ``kripke2b-baire-seq`` (-1)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN AutoSplit) }

1
1. a : ℕ ⟶ ℕ
2. ∀P:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℙ. ((P a) ⇒ ⇃(∃k:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((a = g ∈ (ℕk ⟶ ℕ)) ⇒ (P g))))
3. init0(a)
4. increasing-sequence(a)
5. ∀m:ℕ. ∃n:ℕ. ((a n) ≥ m )
6. k : ℕ
7. F : ∀b:{b:ℕ ⟶ ℕ| a = b ∈ (ℕk ⟶ ℕ)} . ∃n:ℕ. ((b n) ≥ ((a k) + 1) )
8. n : ℕ
9. 0 < k
10. ¬(k = 1 ∈ ℕ)
11. ↑eq-finite-seqs(a;cantor2baire(baire2cantor(a));k)
⊢ (min-inc-seq(cantor2baire(baire2cantor(a));fst((F cantor2baire(baire2cantor(a))));(a k) + 1)
= if eq-finite-seqs(a;cantor2baire(change-from1(a));k)
  then min-inc-seq(cantor2baire(change-from1(a));fst((F cantor2baire(change-from1(a))));(a k) + 1)
  else 0
  fi 
∈ ℕ)
⇒ False

2
1. a : ℕ ⟶ ℕ
2. ∀P:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℙ. ((P a) ⇒ ⇃(∃k:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((a = g ∈ (ℕk ⟶ ℕ)) ⇒ (P g))))
3. init0(a)
4. increasing-sequence(a)
5. ∀m:ℕ. ∃n:ℕ. ((a n) ≥ m )
6. k : ℕ
7. ¬↑eq-finite-seqs(a;cantor2baire(baire2cantor(a));k)
8. F : ∀b:{b:ℕ ⟶ ℕ| a = b ∈ (ℕk ⟶ ℕ)} . ∃n:ℕ. ((b n) ≥ ((a k) + 1) )
9. n : ℕ
10. 0 < k
11. ¬(k = 1 ∈ ℕ)
⊢ (0
= if eq-finite-seqs(a;cantor2baire(change-from1(a));k)
  then min-inc-seq(cantor2baire(change-from1(a));fst((F cantor2baire(change-from1(a))));(a k) + 1)
  else 0
  fi 
∈ ℕ)
⇒ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  \mforall{}P:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  ((P  a)  {}\mRightarrow{}  \00D9(\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((a  =  g)  {}\mRightarrow{}  (P  g))))
3.  init0(a)
4.  increasing-sequence(a)
5.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  ((a  n)  \mgeq{}  m  )
6.  k  :  \mBbbN{}
7.  F  :  \mforall{}b:\{b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  a  =  b\}  .  \mexists{}n:\mBbbN{}.  ((b  n)  \mgeq{}  ((a  k)  +  1)  )
8.  n  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((kripke2b-baire-seq(a;k;F)  f)  =  (kripke2b-baire-seq(a;k;F)  g)))
10.  0  <  k
11.  \mneg{}(k  =  1)
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}baire2cantor(a)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}change-from1(a)\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-4)\mcdot{}
  THEN  RepUR  ``kripke2b-baire-seq``  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  AutoSplit)

---

Home Index