---

Step * 1 2 1 1 of Lemma decidable-finite-cantor


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(R[x;y])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
6. ∀d:ℕ. ∀s,t:𝔹 List.
     (Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                                   in (∀i:ℕn - d. f i = s[i]) ∧ (∀i:ℕn - d. g i = t[i]) ∧ R[F f;F g]])) supposing 
        ((||t|| = (n - d) ∈ ℤ) and 
        (||s|| = (n - d) ∈ ℤ))
7. ∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                            in (∀i:ℕn - n. f i = [][i]) ∧ (∀i:ℕn - n. g i = [][i]) ∧ R[F f;F g]]
⊢ ∃f,g:ℕn ⟶ 𝔹. R[F f;F g]
BY
{ TACTIC:(D -1 THEN D -2 THEN Reduce  (-1)) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(R[x;y])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
6. ∀d:ℕ. ∀s,t:𝔹 List.
     (Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                                   in (∀i:ℕn - d. f i = s[i]) ∧ (∀i:ℕn - d. g i = t[i]) ∧ R[F f;F g]])) supposing 
        ((||t|| = (n - d) ∈ ℤ) and 
        (||s|| = (n - d) ∈ ℤ))
7. f1 : ℕn ⟶ 𝔹
8. f2 : ℕn ⟶ 𝔹
9. [%10] : (∀i:ℕn - n. f1 i = ⊥) ∧ (∀i:ℕn - n. f2 i = ⊥) ∧ R[F f1;F f2]
⊢ ∃f,g:ℕn ⟶ 𝔹. R[F f;F g]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x,y:T.    Dec(R[x;y])
4.  n  :  \mBbbN{}
5.  F  :  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  T
6.  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}s,t:\mBbbB{}  List.
          (Dec(\mexists{}fg:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  [let  f,g  =  fg 
                                                                      in  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  d.  f  i  =  s[i])
                                                                            \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  d.  g  i  =  t[i])
                                                                            \mwedge{}  R[F  f;F  g]]))  supposing 
                ((||t||  =  (n  -  d))  and 
                (||s||  =  (n  -  d)))
7.  \mexists{}fg:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  [let  f,g  =  fg 
                                                        in  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  n.  f  i  =  [][i])  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  n.  g  i  =  [][i])  \mwedge{}  R[F  f;F  g]]
\mvdash{}  \mexists{}f,g:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  R[F  f;F  g]


By

---

Latex:
TACTIC:(D  -1  THEN  D  -2  THEN  Reduce    (-1))

---

Home Index