---

Step * 2 2 1 1 1 1 2 2 1 of Lemma finite-Ramsey1


1. k : ℕ
2. s : ℕ2 ⟶ ℕ
3. ((s 0) + (s 1)) ≤ k
4. ¬((s 0) = 0 ∈ ℤ)
5. ¬((s 1) = 0 ∈ ℤ)
6. ∀s:ℕ2 ⟶ ℕ
     ((((s 0) + (s 1)) ≤ (k - 1))
     ⇒ (∃N:ℕ+
          ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
            ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))))
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2. ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
BY
{ ((InstHyp [⌜λi.if (i =z 0) then (s 0) - 1 else s i fi ⌝] (-1)⋅ THENA (Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (InstHyp [⌜λi.if (i =z 1) then (s 1) - 1 else s i fi ⌝] (-2)⋅ THENA (Reduce 0 THEN Auto))
   THEN All Reduce
   THEN ExRepD) }

1
1. k : ℕ
2. s : ℕ2 ⟶ ℕ
3. ((s 0) + (s 1)) ≤ k
4. ¬((s 0) = 0 ∈ ℤ)
5. ¬((s 1) = 0 ∈ ℤ)
6. ∀s:ℕ2 ⟶ ℕ
     ((((s 0) + (s 1)) ≤ (k - 1))
     ⇒ (∃N:ℕ+
          ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
            ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))))
7. N1 : ℕ+
8. ∀g:ℕN1 ⟶ ℕN1 ⟶ ℕ2
     ∃i:ℕ2
      ∃f:ℕif (i =z 0) then (s 0) - 1 else s i fi  ⟶ ℕN1
       (Inj(ℕif (i =z 0) then (s 0) - 1 else s i fi ;ℕN1;f)
       ∧ (∀a,b:ℕif (i =z 0) then (s 0) - 1 else s i fi .  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
9. N : ℕ+
10. ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
      ∃i:ℕ2
       ∃f:ℕif (i =z 1) then (s 1) - 1 else s i fi  ⟶ ℕN
        (Inj(ℕif (i =z 1) then (s 1) - 1 else s i fi ;ℕN;f)
        ∧ (∀a,b:ℕif (i =z 1) then (s 1) - 1 else s i fi .  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2. ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  s  :  \mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  ((s  0)  +  (s  1))  \mleq{}  k
4.  \mneg{}((s  0)  =  0)
5.  \mneg{}((s  1)  =  0)
6.  \mforall{}s:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          ((((s  0)  +  (s  1))  \mleq{}  (k  -  1))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
                    \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2
                        \mexists{}i:\mBbbN{}2
                          \mexists{}f:\mBbbN{}s  i  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N.  (Inj(\mBbbN{}s  i;\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}s  i.    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))))
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
      \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2
          \mexists{}i:\mBbbN{}2.  \mexists{}f:\mBbbN{}s  i  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N.  (Inj(\mBbbN{}s  i;\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}s  i.    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (s  0)  -  1  else  s  i  fi  \mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  (Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  1)  then  (s  1)  -  1  else  s  i  fi  \mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  (Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  All  Reduce
  THEN  ExRepD)

---

Home Index