---

Step * 1 1 of Lemma general-fan-theorem-troelstra


1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ@i'
2. F : ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. X[n;f]@i
3. ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
      ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
⊢ ⇃(∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. X[n;f])
BY
{ ((Assert ⌜(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
              ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
            ⇒ (∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. X[n;f])⌝⋅
   THENM (RenameVar `f' (-1) THEN RenameVar `M' (-2) THEN UseWitness ⌜f M⌝⋅ THEN newQuotientElim1 (-2)⋅ THEN Auto)
   )
   THEN Thin (-1)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ@i'
2. F : ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. X[n;f]@i
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)@i
4. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
⊢ ∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. X[n;f]

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
2.  F  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f]@i
3.  \00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
            \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (fst((F  f)))))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n)))))
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  X[n;f])


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
                        \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (fst((F  f)))))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n)))))
                    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  X[n;f])\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (RenameVar  `f'  (-1)
                THEN  RenameVar  `M'  (-2)
                THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}f  M\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THEN  newQuotientElim1  (-2)\mcdot{}
                THEN  Auto)
  )
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index