---

Step * 1 of Lemma distinct-representatives


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[A:Type]
       (A ~ ℕk
       ⇒ (∀[E:A ⟶ A ⟶ ℙ]
             (EquivRel(A;x,y.E[x;y])
             ⇒ (∀x,y:A.  Dec(E[x;y]))
             ⇒ (∃L:A List. ((∀a,b∈L.  ¬E[a;b]) ∧ (∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])) ∧ (||L|| ≤ k))))))
3. [A] : Type
4. A ~ ℕk
5. [E] : A ⟶ A ⟶ ℙ
6. EquivRel(A;x,y.E[x;y])
7. ∀x,y:A.  Dec(E[x;y])
8. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
9. b : A
10. i : ℕ
11. j : ℕ
12. k = (i + j) ∈ ℤ
13. {a:A| E[b;a]}  ~ ℕi
14. {a:A| ¬E[b;a]}  ~ ℕj
⊢ ∃L:A List. ((∀a,b∈L.  ¬E[a;b]) ∧ (∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])) ∧ (||L|| ≤ k))
BY
{ TACTIC:(CaseNat 0 `i'
          THEN Try (((Assert ¬{a:A| E[b;a]}  BY
                            (BLemma `equipollent-zero` THEN Complete (Auto)))
                     THEN D -1
                     THEN UseWitness ⌜b⌝⋅
                     THEN Auto))
          ) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[A:Type]
       (A ~ ℕk
       ⇒ (∀[E:A ⟶ A ⟶ ℙ]
             (EquivRel(A;x,y.E[x;y])
             ⇒ (∀x,y:A.  Dec(E[x;y]))
             ⇒ (∃L:A List. ((∀a,b∈L.  ¬E[a;b]) ∧ (∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])) ∧ (||L|| ≤ k))))))
3. [A] : Type
4. A ~ ℕk
5. [E] : A ⟶ A ⟶ ℙ
6. EquivRel(A;x,y.E[x;y])
7. ∀x,y:A.  Dec(E[x;y])
8. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
9. b : A
10. i : ℕ
11. j : ℕ
12. k = (i + j) ∈ ℤ
13. {a:A| E[b;a]}  ~ ℕi
14. {a:A| ¬E[b;a]}  ~ ℕj
15. ¬(i = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∃L:A List. ((∀a,b∈L.  ¬E[a;b]) ∧ (∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])) ∧ (||L|| ≤ k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[A:Type]
              (A  \msim{}  \mBbbN{}k
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[E:A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
                          (EquivRel(A;x,y.E[x;y])
                          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:A.    Dec(E[x;y]))
                          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}L:A  List.  ((\mforall{}a,b\mmember{}L.    \mneg{}E[a;b])  \mwedge{}  (\mforall{}a:A.  (\mexists{}b\mmember{}L.  E[a;b]))  \mwedge{}  (||L||  \mleq{}  k))))))
3.  [A]  :  Type
4.  A  \msim{}  \mBbbN{}k
5.  [E]  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  EquivRel(A;x,y.E[x;y])
7.  \mforall{}x,y:A.    Dec(E[x;y])
8.  \mneg{}(k  =  0)
9.  b  :  A
10.  i  :  \mBbbN{}
11.  j  :  \mBbbN{}
12.  k  =  (i  +  j)
13.  \{a:A|  E[b;a]\}    \msim{}  \mBbbN{}i
14.  \{a:A|  \mneg{}E[b;a]\}    \msim{}  \mBbbN{}j
\mvdash{}  \mexists{}L:A  List.  ((\mforall{}a,b\mmember{}L.    \mneg{}E[a;b])  \mwedge{}  (\mforall{}a:A.  (\mexists{}b\mmember{}L.  E[a;b]))  \mwedge{}  (||L||  \mleq{}  k))


By

---

Latex:
TACTIC:(CaseNat  0  `i'
                THEN  Try  (((Assert  \mneg{}\{a:A|  E[b;a]\}    BY
                                                    (BLemma  `equipollent-zero`  THEN  Complete  (Auto)))
                                      THEN  D  -1
                                      THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}\mcdot{}
                                      THEN  Auto))
                )

---

Home Index