---

Step * 1 of Lemma involution-with-unique-fixpoint


1. n : ℕ
2. T : Type
3. T ~ ℕn
4. f : T ⟶ T
5. ∀x:T. ((f (f x)) = x ∈ T)
6. ∀x,y:T.  (((f x) = x ∈ T) ⇒ ((f y) = y ∈ T) ⇒ (x = y ∈ T))
7. ∃x:T. ((f x) = x ∈ T)
⊢ (n rem 2) = 1 ∈ ℤ
BY
{ ((InstLemma `count-by-orbits` [⌜n⌝;⌜T⌝;⌜f⌝]⋅
    THENA (Auto THEN (D 0 THEN Auto) THEN Assert ⌜((f (f a1)) = a1 ∈ T) ∧ ((f (f a2)) = a2 ∈ T)⌝⋅ THEN Auto)
    )
   THEN ExRepD
   THEN (InstLemma `orbit-of-involution` [⌜T⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. T : Type
3. T ~ ℕn
4. f : T ⟶ T
5. ∀x:T. ((f (f x)) = x ∈ T)
6. ∀x,y:T.  (((f x) = x ∈ T) ⇒ ((f y) = y ∈ T) ⇒ (x = y ∈ T))
7. x : T
8. (f x) = x ∈ T
9. orbits : T List List
10. (∀o∈orbits.orbit(T;f;o))
11. ∀a:T. (∃o∈orbits. (a ∈ o))
12. (∀o1,o2∈orbits.  l_disjoint(T;o1;o2))
13. no_repeats(T List;orbits)
14. n = l_sum(map(λo.||o||;orbits)) ∈ ℤ
15. ∀o:T List. (||o|| = 1 ∈ ℤ) ∨ (||o|| = 2 ∈ ℤ) supposing orbit(T;f;o)
⊢ (n rem 2) = 1 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  T  :  Type
3.  T  \msim{}  \mBbbN{}n
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  \mforall{}x:T.  ((f  (f  x))  =  x)
6.  \mforall{}x,y:T.    (((f  x)  =  x)  {}\mRightarrow{}  ((f  y)  =  y)  {}\mRightarrow{}  (x  =  y))
7.  \mexists{}x:T.  ((f  x)  =  x)
\mvdash{}  (n  rem  2)  =  1


By

---

Latex:
((InstLemma  `count-by-orbits`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  (D  0  THEN  Auto)  THEN  Assert  \mkleeneopen{}((f  (f  a1))  =  a1)  \mwedge{}  ((f  (f  a2))  =  a2)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)
    )
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstLemma  `orbit-of-involution`  [\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index