---

Step * 2 1 1 1 2 1 1 2 of Lemma bar-separation-implies-twkl!


1. T : Type
2. ∃size:ℕ. T ~ ℕsize
3. BarSep(T;T)
4. A : {A:(T List) ⟶ ℙ| down-closed(T;A) ∧ Unbounded(A)} 
5. ¬tbar(T;¬(A))
6. Decidable(A)
7. ∀as,bs:T List.  (as ≤ bs ⇒ (A bs) ⇒ (A as))
8. T
9. ∀a,b:T.  Dec(a = b ∈ T)
10. eff-unique-path(T;A)
11. ∀s:T List. ∃t:T. ∀t':T. ((¬(t' = t ∈ T)) ⇒ tbar(T;¬(λx.(A ((s @ [t']) @ x)))))
12. g : s:(T List) ⟶ T
13. ∀s:T List. ∀t':T.  ((¬(t' = (g s) ∈ T)) ⇒ tbar(T;¬(λx.(A ((s @ [t']) @ x)))))
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. ||primrec(n - 1;[];λn',s. (s @ [g s]))|| = (n - 1) ∈ ℤ
17. 0 < n - 1 ⇒ (primrec(n - 1;[];λn',s. (s @ [g s]))[n - 1 - 1] = (g primrec(n - 1 - 1;[];λn',s. (s @ [g s]))) ∈ T)
18. map(λn.primrec(n + 1;[];λn',s. (s @ [g s]))[n];upto(n - 1)) = primrec(n - 1;[];λn',s. (s @ [g s])) ∈ (T List)
19. ||primrec(n;[];λn',s. (s @ [g s]))|| = n ∈ ℤ
20. 0 < n
⊢ primrec(n;[];λn',s. (s @ [g s]))[n - 1] = (g primrec(n - 1;[];λn',s. (s @ [g s]))) ∈ T
BY
{ ((RW  (AddrC [2;2] (LemmaC `primrec-unroll`)) 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN OldAutoSplit
   THEN RWO "select_append_back" 0
   THEN Auto
   THEN RepeatFor 2 ((Reduce 0 THEN RWW "-6" 0 THEN Auto))
   THEN Subst ⌜n - 1 - n - 1 ~ 0⌝ 0⋅
   THEN Reduce 0
   THEN Auto)⋅ }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  \mexists{}size:\mBbbN{}.  T  \msim{}  \mBbbN{}size
3.  BarSep(T;T)
4.  A  :  \{A:(T  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}|  down-closed(T;A)  \mwedge{}  Unbounded(A)\} 
5.  \mneg{}tbar(T;\mneg{}(A))
6.  Decidable(A)
7.  \mforall{}as,bs:T  List.    (as  \mleq{}  bs  {}\mRightarrow{}  (A  bs)  {}\mRightarrow{}  (A  as))
8.  T
9.  \mforall{}a,b:T.    Dec(a  =  b)
10.  eff-unique-path(T;A)
11.  \mforall{}s:T  List.  \mexists{}t:T.  \mforall{}t':T.  ((\mneg{}(t'  =  t))  {}\mRightarrow{}  tbar(T;\mneg{}(\mlambda{}x.(A  ((s  @  [t'])  @  x)))))
12.  g  :  s:(T  List)  {}\mrightarrow{}  T
13.  \mforall{}s:T  List.  \mforall{}t':T.    ((\mneg{}(t'  =  (g  s)))  {}\mRightarrow{}  tbar(T;\mneg{}(\mlambda{}x.(A  ((s  @  [t'])  @  x)))))
14.  n  :  \mBbbZ{}
15.  0  <  n
16.  ||primrec(n  -  1;[];\mlambda{}n',s.  (s  @  [g  s]))||  =  (n  -  1)
17.  0  <  n  -  1
{}\mRightarrow{}  (primrec(n  -  1;[];\mlambda{}n',s.  (s  @  [g  s]))[n  -  1  -  1]  =  (g  primrec(n  -  1  -  1;[];\mlambda{}n',s.  (s  @  [g  s]))))
18.  map(\mlambda{}n.primrec(n  +  1;[];\mlambda{}n',s.  (s  @  [g  s]))[n];upto(n  -  1))  =  primrec(n  -  1;[];\mlambda{}n',s.  (s  @  [g  s]\000C))
19.  ||primrec(n;[];\mlambda{}n',s.  (s  @  [g  s]))||  =  n
20.  0  <  n
\mvdash{}  primrec(n;[];\mlambda{}n',s.  (s  @  [g  s]))[n  -  1]  =  (g  primrec(n  -  1;[];\mlambda{}n',s.  (s  @  [g  s])))


By

---

Latex:
((RW    (AddrC  [2;2]  (LemmaC  `primrec-unroll`))  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  OldAutoSplit
  THEN  RWO  "select\_append\_back"  0
  THEN  Auto
  THEN  RepeatFor  2  ((Reduce  0  THEN  RWW  "-6"  0  THEN  Auto))
  THEN  Subst  \mkleeneopen{}n  -  1  -  n  -  1  \msim{}  0\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index