---

Step * 1 1 1 of Lemma fan-implies-PFan


1. ∀A:(𝔹 List) ⟶ ℙ
     ((∀as:𝔹 List. Dec(A as)) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (A map(f;upto(n)))) ⇒ (∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. (A map(f;upto(n)))))
2. n : ℕ@i
3. ss : ((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ@i'
4. ∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc)
5. ∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc'))
6. ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
     ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m)))))
7. f : ℕ ⟶ 𝔹@i
8. ∃i:ℕn. (¬f (2 * i) = f ((2 * i) + 1))
⊢ ∃n@0:ℕ
   (((2 * n) ≤ ||map(f;upto(n@0))||)
   ∧ (∀i:ℕn. ((¬map(f;upto(n@0))[2 * i] = map(f;upto(n@0))[(2 * i) + 1]) ⇒ (ss unshuffle(map(f;upto(n@0)))))))
BY
{ (InstHyp [⌜λi.<f (2 * i), f ((2 * i) + 1)>⌝] (-3)⋅ THENA Auto') }

1
.....antecedent..... 
1. ∀A:(𝔹 List) ⟶ ℙ
     ((∀as:𝔹 List. Dec(A as)) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (A map(f;upto(n)))) ⇒ (∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. (A map(f;upto(n)))))
2. n : ℕ@i
3. ss : ((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ@i'
4. ∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc)
5. ∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc'))
6. ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
     ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m)))))
7. f : ℕ ⟶ 𝔹@i
8. ∃i:ℕn. (¬f (2 * i) = f ((2 * i) + 1))
⊢ ¬(map(λi.(fst(((λi.<f (2 * i), f ((2 * i) + 1)>) i)));upto(n))
= map(λi.(snd(((λi.<f (2 * i), f ((2 * i) + 1)>) i)));upto(n))
∈ (𝔹 List))

2
1. ∀A:(𝔹 List) ⟶ ℙ
     ((∀as:𝔹 List. Dec(A as)) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (A map(f;upto(n)))) ⇒ (∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. (A map(f;upto(n)))))
2. n : ℕ@i
3. ss : ((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ@i'
4. ∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc)
5. ∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc'))
6. ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
     ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m)))))
7. f : ℕ ⟶ 𝔹@i
8. ∃i:ℕn. (¬f (2 * i) = f ((2 * i) + 1))
9. ∃m:ℕ. (ss map(λi.<f (2 * i), f ((2 * i) + 1)>;upto(m)))
⊢ ∃n@0:ℕ
   (((2 * n) ≤ ||map(f;upto(n@0))||)
   ∧ (∀i:ℕn. ((¬map(f;upto(n@0))[2 * i] = map(f;upto(n@0))[(2 * i) + 1]) ⇒ (ss unshuffle(map(f;upto(n@0)))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}A:(\mBbbB{}  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
          ((\mforall{}as:\mBbbB{}  List.  Dec(A  as))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (A  map(f;upto(n))))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  (A  map(f;upto(n)))))
2.  n  :  \mBbbN{}@i
3.  ss  :  ((\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
4.  \mforall{}bc:(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.  Dec(ss  bc)
5.  \mforall{}bc,bc':(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.    (bc  \mleq{}  bc'  {}\mRightarrow{}  (ss  bc)  {}\mRightarrow{}  (ss  bc'))
6.  \mforall{}gh:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
          ((\mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n))))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}m:\mBbbN{}.  (ss  map(gh;upto(m)))))
7.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
8.  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (\mneg{}f  (2  *  i)  =  f  ((2  *  i)  +  1))
\mvdash{}  \mexists{}n@0:\mBbbN{}
      (((2  *  n)  \mleq{}  ||map(f;upto(n@0))||)
      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n
                ((\mneg{}map(f;upto(n@0))[2  *  i]  =  map(f;upto(n@0))[(2  *  i)  +  1])
                {}\mRightarrow{}  (ss  unshuffle(map(f;upto(n@0)))))))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}i.<f  (2  *  i),  f  ((2  *  i)  +  1)>\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto')

---

Home Index