---

Step * 1 2 2 1 2 1 2 of Lemma fan-implies-PFan


1. ∀A:(𝔹 List) ⟶ ℙ
     ((∀as:𝔹 List. Dec(A as)) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (A map(f;upto(n)))) ⇒ (∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. (A map(f;upto(n)))))
2. n : ℕ@i
3. ss : ((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ@i'
4. ∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc)
5. ∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc'))
6. ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
     ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m)))))
7. k1 : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹
     ∃n@0:ℕk1
      (((2 * n) ≤ ||map(f;upto(n@0))||)
      ∧ (∀i:ℕn. ((¬map(f;upto(n@0))[2 * i] = map(f;upto(n@0))[(2 * i) + 1]) ⇒ (ss unshuffle(map(f;upto(n@0)))))))
9. k : ℕ
10. n ≤ k
11. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹
      ∃m:ℕ2 * k
       (((2 * n) ≤ ||map(f;upto(m))||)
       ∧ (∀i:ℕn. ((¬map(f;upto(m))[2 * i] = map(f;upto(m))[(2 * i) + 1]) ⇒ (ss unshuffle(map(f;upto(m)))))))
12. gh : ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)@i
13. ¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))
14. λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j] ∈ ℕ ⟶ 𝔹
15. m : ℕ2 * k
16. (2 * n) ≤ ||map(λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j];upto(m))||
17. ∀i:ℕn
      ((¬map(λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j];upto(m))[2 * i] 
      = map(λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j];upto(m))[(2 * i) + 1])
      ⇒ (ss unshuffle(map(λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j];upto(m)))))
18. i : ℕn
19. ¬map(λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j];upto(m))[2 * i] 
= map(λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j];upto(m))[(2 * i) + 1]
20. ss unshuffle(map(λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j];upto(m)))
21. unshuffle(map(λj.shuffle(map(gh;upto(j + 1)))[j];upto(m))) ≤ map(gh;upto(k))
⊢ ss map(gh;upto(k))
BY
{ (FHyp 5 [-1;-2] THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}A:(\mBbbB{}  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
          ((\mforall{}as:\mBbbB{}  List.  Dec(A  as))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (A  map(f;upto(n))))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  (A  map(f;upto(n)))))
2.  n  :  \mBbbN{}@i
3.  ss  :  ((\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
4.  \mforall{}bc:(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.  Dec(ss  bc)
5.  \mforall{}bc,bc':(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.    (bc  \mleq{}  bc'  {}\mRightarrow{}  (ss  bc)  {}\mRightarrow{}  (ss  bc'))
6.  \mforall{}gh:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
          ((\mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n))))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}m:\mBbbN{}.  (ss  map(gh;upto(m)))))
7.  k1  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
          \mexists{}n@0:\mBbbN{}k1
            (((2  *  n)  \mleq{}  ||map(f;upto(n@0))||)
            \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n
                      ((\mneg{}map(f;upto(n@0))[2  *  i]  =  map(f;upto(n@0))[(2  *  i)  +  1])
                      {}\mRightarrow{}  (ss  unshuffle(map(f;upto(n@0)))))))
9.  k  :  \mBbbN{}
10.  n  \mleq{}  k
11.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
            \mexists{}m:\mBbbN{}2  *  k
              (((2  *  n)  \mleq{}  ||map(f;upto(m))||)
              \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n
                        ((\mneg{}map(f;upto(m))[2  *  i]  =  map(f;upto(m))[(2  *  i)  +  1])
                        {}\mRightarrow{}  (ss  unshuffle(map(f;upto(m)))))))
12.  gh  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})@i
13.  \mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n)))
14.  \mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j]  \mmember{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
15.  m  :  \mBbbN{}2  *  k
16.  (2  *  n)  \mleq{}  ||map(\mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j];upto(m))||
17.  \mforall{}i:\mBbbN{}n
            ((\mneg{}map(\mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j];upto(m))[2  *  i] 
            =  map(\mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j];upto(m))[(2  *  i)  +  1])
            {}\mRightarrow{}  (ss  unshuffle(map(\mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j];upto(m)))))
18.  i  :  \mBbbN{}n
19.  \mneg{}map(\mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j];upto(m))[2  *  i] 
=  map(\mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j];upto(m))[(2  *  i)  +  1]
20.  ss  unshuffle(map(\mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j];upto(m)))
21.  unshuffle(map(\mlambda{}j.shuffle(map(gh;upto(j  +  1)))[j];upto(m)))  \mleq{}  map(gh;upto(k))
\mvdash{}  ss  map(gh;upto(k))


By

---

Latex:
(FHyp  5  [-1;-2]  THEN  Auto)

---

Home Index