---

Step * 2 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma fan-implies-bar-sep

.....equality..... 
1. T : Type
2. t : T
3. size : ℕ
4. T ~ ℕsize
5. A : (T List) ⟶ ℙ
6. B : (T List) ⟶ ℙ
7. Decidable(A)
8. Decidable(B)
9. jbar(T;T;A;B)
10. k : ℕ
11. ∀f:ℕ ⟶ T
      ∃n:ℕk
       ((∃n@0:ℕ||unshuffle(map(f;upto(n)))||. (A firstn(n@0;map(λp.(fst(p));unshuffle(map(f;upto(n)))))))
       ∨ (∃n@0:ℕ||unshuffle(map(f;upto(n)))||. (B firstn(n@0;map(λp.(snd(p));unshuffle(map(f;upto(n))))))))
12. L : {L:T List| k ≤ ||unshuffle(L)||} 
13. k ≤ ||L||
14. n : ℕk
15. (∃n@0:ℕ||unshuffle(map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)))||
      (A firstn(n@0;map(λp.(fst(p));unshuffle(map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)))))))
∨ (∃n@0:ℕ||unshuffle(map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)))||
    (B firstn(n@0;map(λp.(snd(p));unshuffle(map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)))))))
⊢ map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)) = firstn(n;L) ∈ (T List)
BY
{ (Auto THEN BLemma `list_extensionality` THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. t : T
3. size : ℕ
4. T ~ ℕsize
5. A : (T List) ⟶ ℙ
6. B : (T List) ⟶ ℙ
7. Decidable(A)
8. Decidable(B)
9. jbar(T;T;A;B)
10. k : ℕ
11. ∀f:ℕ ⟶ T
      ∃n:ℕk
       ((∃n@0:ℕ||unshuffle(map(f;upto(n)))||. (A firstn(n@0;map(λp.(fst(p));unshuffle(map(f;upto(n)))))))
       ∨ (∃n@0:ℕ||unshuffle(map(f;upto(n)))||. (B firstn(n@0;map(λp.(snd(p));unshuffle(map(f;upto(n))))))))
12. L : {L:T List| k ≤ ||unshuffle(L)||} 
13. k ≤ ||L||
14. n : ℕk
15. (∃n@0:ℕ||unshuffle(map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)))||
      (A firstn(n@0;map(λp.(fst(p));unshuffle(map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)))))))
∨ (∃n@0:ℕ||unshuffle(map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)))||
    (B firstn(n@0;map(λp.(snd(p));unshuffle(map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n)))))))
16. i : ℕ
17. i < ||map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n))||
⊢ map(λn.if n <z k then L[n] else t fi ;upto(n))[i] = firstn(n;L)[i] ∈ T

---

Latex:

---

Latex:
.....equality..... 
1.  T  :  Type
2.  t  :  T
3.  size  :  \mBbbN{}
4.  T  \msim{}  \mBbbN{}size
5.  A  :  (T  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  B  :  (T  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  Decidable(A)
8.  Decidable(B)
9.  jbar(T;T;A;B)
10.  k  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
            \mexists{}n:\mBbbN{}k
              ((\mexists{}n@0:\mBbbN{}||unshuffle(map(f;upto(n)))||
                    (A  firstn(n@0;map(\mlambda{}p.(fst(p));unshuffle(map(f;upto(n)))))))
              \mvee{}  (\mexists{}n@0:\mBbbN{}||unshuffle(map(f;upto(n)))||
                      (B  firstn(n@0;map(\mlambda{}p.(snd(p));unshuffle(map(f;upto(n))))))))
12.  L  :  \{L:T  List|  k  \mleq{}  ||unshuffle(L)||\} 
13.  k  \mleq{}  ||L||
14.  n  :  \mBbbN{}k
15.  (\mexists{}n@0:\mBbbN{}||unshuffle(map(\mlambda{}n.if  n  <z  k  then  L[n]  else  t  fi  ;upto(n)))||
            (A  firstn(n@0;map(\mlambda{}p.(fst(p));unshuffle(map(\mlambda{}n.if  n  <z  k  then  L[n]  else  t  fi  ;upto(n)))))))
\mvee{}  (\mexists{}n@0:\mBbbN{}||unshuffle(map(\mlambda{}n.if  n  <z  k  then  L[n]  else  t  fi  ;upto(n)))||
        (B  firstn(n@0;map(\mlambda{}p.(snd(p));unshuffle(map(\mlambda{}n.if  n  <z  k  then  L[n]  else  t  fi  ;upto(n)))))))
\mvdash{}  map(\mlambda{}n.if  n  <z  k  then  L[n]  else  t  fi  ;upto(n))  =  firstn(n;L)


By

---

Latex:
(Auto  THEN  BLemma  `list\_extensionality`  THEN  Auto)

---

Home Index