---

Step * 1 2 of Lemma fan-implies-nwkl!-using-PFan


1. Fan
2. t : (𝔹 List) ⟶ ℙ
3. ∀as:𝔹 List. Dec(t as)
4. infinite-tree(t)
5. eff-unique(t)
6. ∀n:ℕ. ∀ss:((𝔹 × 𝔹) List) ⟶ ℙ.
     ((∀bc:(𝔹 × 𝔹) List. Dec(ss bc))
     ⇒ (∀bc,bc':(𝔹 × 𝔹) List.  (bc ≤ bc' ⇒ (ss bc) ⇒ (ss bc')))
     ⇒ (∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
           ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List)))
           ⇒ (∃m:ℕ. (ss map(gh;upto(m))))))
     ⇒ (∃k:ℕ
          ∀gh:ℕ ⟶ (𝔹 × 𝔹)
            ((¬(map(λi.(fst((gh i)));upto(n)) = map(λi.(snd((gh i)));upto(n)) ∈ (𝔹 List))) ⇒ (ss map(gh;upto(k))))))
7. ∀n:ℕ
     ∃k:ℕ
      ((n ≤ k)
      ∧ (∀b,c:𝔹 List.
           ((||b|| = k ∈ ℤ) ⇒ (||c|| = k ∈ ℤ) ⇒ (t b) ⇒ (t c) ⇒ (firstn(n;b) = firstn(n;c) ∈ (𝔹 List)))))
⊢ ∃f:ℕ ⟶ 𝔹. is-path(t;f)
BY
{ (Thin (-2) THEN D 4 THEN (Skolemize 5 `a' THENA Auto) THEN Thin 5) }

1
1. Fan
2. t : (𝔹 List) ⟶ ℙ
3. ∀as:𝔹 List. Dec(t as)
4. ∀as,bs:𝔹 List.  (as ≤ bs ⇒ (t bs) ⇒ (t as))
5. eff-unique(t)
6. ∀n:ℕ
     ∃k:ℕ
      ((n ≤ k)
      ∧ (∀b,c:𝔹 List.
           ((||b|| = k ∈ ℤ) ⇒ (||c|| = k ∈ ℤ) ⇒ (t b) ⇒ (t c) ⇒ (firstn(n;b) = firstn(n;c) ∈ (𝔹 List)))))
7. a : n:ℕ ⟶ (𝔹 List)
8. ∀n:ℕ. ((||a n|| = n ∈ ℤ) ∧ (t (a n)))
⊢ ∃f:ℕ ⟶ 𝔹. is-path(t;f)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Fan
2.  t  :  (\mBbbB{}  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}as:\mBbbB{}  List.  Dec(t  as)
4.  infinite-tree(t)
5.  eff-unique(t)
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}ss:((\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
          ((\mforall{}bc:(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.  Dec(ss  bc))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}bc,bc':(\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})  List.    (bc  \mleq{}  bc'  {}\mRightarrow{}  (ss  bc)  {}\mRightarrow{}  (ss  bc')))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}gh:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
                      ((\mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n))))
                      {}\mRightarrow{}  (\mexists{}m:\mBbbN{}.  (ss  map(gh;upto(m))))))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}
                    \mforall{}gh:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbB{}  \mtimes{}  \mBbbB{})
                        ((\mneg{}(map(\mlambda{}i.(fst((gh  i)));upto(n))  =  map(\mlambda{}i.(snd((gh  i)));upto(n))))
                        {}\mRightarrow{}  (ss  map(gh;upto(k))))))
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          \mexists{}k:\mBbbN{}
            ((n  \mleq{}  k)
            \mwedge{}  (\mforall{}b,c:\mBbbB{}  List.
                      ((||b||  =  k)  {}\mRightarrow{}  (||c||  =  k)  {}\mRightarrow{}  (t  b)  {}\mRightarrow{}  (t  c)  {}\mRightarrow{}  (firstn(n;b)  =  firstn(n;c)))))
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  is-path(t;f)


By

---

Latex:
(Thin  (-2)  THEN  D  4  THEN  (Skolemize  5  `a'  THENA  Auto)  THEN  Thin  5)

---

Home Index