---

Step * 1 1 1 of Lemma injection_le

.....assertion..... 
1. k : ℤ
2. 0 < k
3. ∀[m:ℕ]. (k - 1) ≤ m supposing ∃f:ℕk - 1 ⟶ ℕm. Inj(ℕk - 1;ℕm;f)
4. m : ℕ
5. f : ℕk ⟶ ℕm
6. Inj(ℕk;ℕm;f)
7. f 0 ∈ ℕm
⊢ ∃g:ℕk - 1 ⟶ ℕm - 1. ∀i:ℕk - 1. ((g i) = if (f i =z m - 1) then f (k - 1) else f i fi  ∈ ℤ)
BY
{ (InstConcl [λi.if (f i =z m - 1) then f (k - 1) else f i fi ]
   THEN Reduce 0
   THEN Auto
   THEN (AssertBY ¬((f (k - 1)) = (m - 1) ∈ ℤ)
       ((D 0 THENA Auto) THEN AllHyps (\j. ((Unfold `inject` j THEN InstHyp [i;k - 1] j) THEN Auto))))
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  k  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  k
3.  \mforall{}[m:\mBbbN{}].  (k  -  1)  \mleq{}  m  supposing  \mexists{}f:\mBbbN{}k  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m.  Inj(\mBbbN{}k  -  1;\mBbbN{}m;f)
4.  m  :  \mBbbN{}
5.  f  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
6.  Inj(\mBbbN{}k;\mBbbN{}m;f)
7.  f  0  \mmember{}  \mBbbN{}m
\mvdash{}  \mexists{}g:\mBbbN{}k  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m  -  1.  \mforall{}i:\mBbbN{}k  -  1.  ((g  i)  =  if  (f  i  =\msubz{}  m  -  1)  then  f  (k  -  1)  else  f  i  fi  )


By

---

Latex:
(InstConcl  [\mlambda{}i.if  (f  i  =\msubz{}  m  -  1)  then  f  (k  -  1)  else  f  i  fi  ]
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto
  THEN  (AssertBY  \mneg{}((f  (k  -  1))  =  (m  -  1))
        ((D  0  THENA  Auto)  THEN  AllHyps  (\mbackslash{}j.  ((Unfold  `inject`  j  THEN  InstHyp  [i;k  -  1]  j)  THEN  Auto))))
  THEN  Auto)

---

Home Index