---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma funinv-compose


1. n : ℕ
2. f : ℕn ⟶ ℕn
3. ∀a1,a2:ℕn.  (((f a1) = (f a2) ∈ ℕn) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕn))
4. g : ℕn ⟶ ℕn
5. ∀a1,a2:ℕn.  (((g a1) = (g a2) ∈ ℕn) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕn))
6. f o g ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
7. f ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
8. g ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
9. inv(f o g) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
10. inv(f) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
11. inv(g) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
12. Inj(ℕn;ℕn;inv(f o g))
13. x : ℕn
⊢ (f (g (inv(f o g) x))) = (f (inv(f) x)) ∈ ℕn
BY
{ (RWO "funinv-property.1" 0 THEN Auto THEN Try ((Unfold `label` 0 THEN HypSubst' (-1) 0 THEN Auto)))⋅ }

1
1. n : ℕ
2. f : ℕn ⟶ ℕn
3. ∀a1,a2:ℕn.  (((f a1) = (f a2) ∈ ℕn) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕn))
4. g : ℕn ⟶ ℕn
5. ∀a1,a2:ℕn.  (((g a1) = (g a2) ∈ ℕn) ⇒ (a1 = a2 ∈ ℕn))
6. f o g ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
7. f ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
8. g ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
9. inv(f o g) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
10. inv(f) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
11. inv(g) ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
12. Inj(ℕn;ℕn;inv(f o g))
13. x : ℕn
⊢ (f (g (inv(f o g) x))) = x ∈ ℕn

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
3.  \mforall{}a1,a2:\mBbbN{}n.    (((f  a1)  =  (f  a2))  {}\mRightarrow{}  (a1  =  a2))
4.  g  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
5.  \mforall{}a1,a2:\mBbbN{}n.    (((g  a1)  =  (g  a2))  {}\mRightarrow{}  (a1  =  a2))
6.  f  o  g  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
7.  f  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
8.  g  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
9.  inv(f  o  g)  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
10.  inv(f)  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
11.  inv(g)  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
12.  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;inv(f  o  g))
13.  x  :  \mBbbN{}n
\mvdash{}  (f  (g  (inv(f  o  g)  x)))  =  (f  (inv(f)  x))


By

---

Latex:
(RWO  "funinv-property.1"  0  THEN  Auto  THEN  Try  ((Unfold  `label`  0  THEN  HypSubst'  (-1)  0  THEN  Auto)))\mcdot{}

---

Home Index