---

Step * 2 1 of Lemma permutation-generators2


1. n : ℕ
2. λx.x ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. [P] : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)}  ⟶ ℙ
4. P (λx.x)
5. ∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . ((P inv(f)) ⇒ (P inv((0, 1) o f))) supposing 1 < n
⇒ (∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . ((P inv(f)) ⇒ (P inv(rot(n) o f))))
⇒ (∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . (P inv(f)))
6. ∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . ((P f) ⇒ (P (f o (0, 1)))) supposing 1 < n
⊢ (∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . ((P f) ⇒ (P (f o rot(n))))) ⇒ (∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . (P f))
BY
{ (D (-2) THENA (ParallelLast THEN Auto THEN InstHyp [⌜inv(f)⌝] (-3)⋅ THEN Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. λx.x ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. [P] : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)}  ⟶ ℙ
4. P (λx.x)
5. 1 < n
6. ∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . ((P f) ⇒ (P (f o (0, 1))))
7. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
8. P inv(f)
9. P (inv(f) o (0, 1))
⊢ P inv((0, 1) o f)

2
1. n : ℕ
2. λx.x ∈ {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. [P] : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)}  ⟶ ℙ
4. P (λx.x)
5. ∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . ((P f) ⇒ (P (f o (0, 1)))) supposing 1 < n
6. (∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . ((P inv(f)) ⇒ (P inv(rot(n) o f)))) ⇒ (∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . (P inv(f)))
⊢ (∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . ((P f) ⇒ (P (f o rot(n))))) ⇒ (∀f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} . (P f))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mlambda{}x.x  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
3.  [P]  :  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  P  (\mlambda{}x.x)
5.  \mforall{}f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  .  ((P  inv(f))  {}\mRightarrow{}  (P  inv((0,  1)  o  f)))  supposing  1  <  n
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  .  ((P  inv(f))  {}\mRightarrow{}  (P  inv(rot(n)  o  f))))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  .  (P  inv(f)))
6.  \mforall{}f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  .  ((P  f)  {}\mRightarrow{}  (P  (f  o  (0,  1))))  supposing  1  <  n
\mvdash{}  (\mforall{}f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  .  ((P  f)  {}\mRightarrow{}  (P  (f  o  rot(n)))))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  .  (P  f))


By

---

Latex:
(D  (-2)  THENA  (ParallelLast  THEN  Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}inv(f)\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THEN  Auto))

---

Home Index