---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma pigeon-hole


1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. f : ℕn ⟶ ℕm
4. Inj(ℕn;ℕm;f)
5. p : ℕm ⟶ (ℕ List)
6. Σ(||p j|| | j < m) = n ∈ ℤ
7. ∀j:ℕm. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
8. ∀j:ℕm. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n c∧ ((f p j[x]) = j ∈ ℤ))
9. j : ℕm
10. ∀x:ℕ||p j||. (p j[x] < n c∧ ((f p j[x]) = j ∈ ℤ))
11. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
12. ¬(||p j|| ≤ 1)
13. p j[0] < n c∧ ((f p j[0]) = j ∈ ℤ)
14. p j[1] < n c∧ ((f p j[1]) = j ∈ ℤ)
15. p j[0] > p j[1]
⊢ ||p j|| ≤ 1
BY
{ (ExRepD
   THEN Unfold `inject` 4
   THEN InstHyp [⌜p j[0]⌝;⌜p j[1]⌝] 4⋅
   THEN Try (Complete (Auto'))
   THEN Try ((MemTypeCD THEN Auto))) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  m  :  \mBbbN{}
3.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
4.  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}m;f)
5.  p  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  List)
6.  \mSigma{}(||p  j||  |  j  <  m)  =  n
7.  \mforall{}j:\mBbbN{}m.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}||p  j||.    p  j[x]  >  p  j[y]  supposing  x  <  y
8.  \mforall{}j:\mBbbN{}m.  \mforall{}x:\mBbbN{}||p  j||.    (p  j[x]  <  n  c\mwedge{}  ((f  p  j[x])  =  j))
9.  j  :  \mBbbN{}m
10.  \mforall{}x:\mBbbN{}||p  j||.  (p  j[x]  <  n  c\mwedge{}  ((f  p  j[x])  =  j))
11.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}||p  j||.    p  j[x]  >  p  j[y]  supposing  x  <  y
12.  \mneg{}(||p  j||  \mleq{}  1)
13.  p  j[0]  <  n  c\mwedge{}  ((f  p  j[0])  =  j)
14.  p  j[1]  <  n  c\mwedge{}  ((f  p  j[1])  =  j)
15.  p  j[0]  >  p  j[1]
\mvdash{}  ||p  j||  \mleq{}  1


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  Unfold  `inject`  4
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}p  j[0]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p  j[1]\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}
  THEN  Try  (Complete  (Auto'))
  THEN  Try  ((MemTypeCD  THEN  Auto)))

---

Home Index