---

Step * 2 1 2 1 of Lemma int-sq-root


1. x : ℕ+
2. r : ℕ
3. (r * r) ≤ (x ÷ 4)
4. x ÷ 4 < (r + 1) * (r + 1)
5. x = (((x ÷ 4) * 4) + (x rem 4)) ∈ ℤ
6. 0 ≤ (x rem 4)
7. x rem 4 < 4
8. 2r : ℤ
9. 2r = (2 * r) ∈ ℤ
10. 2r' : ℤ
11. 2r' = (2r + 1) ∈ ℤ
12. ¬x < 2r' * 2r'
13. (2r' * 2r') ≤ x
⊢ x < (2r' + 1) * (2r' + 1)
BY
{ ((Assert (x ÷ 4) ≤ (((r + 1) * (r + 1)) - 1) BY Auto) THEN Mul ⌜4⌝ (-1)⋅) }

1
1. x : ℕ+
2. r : ℕ
3. (r * r) ≤ (x ÷ 4)
4. x ÷ 4 < (r + 1) * (r + 1)
5. x = (((x ÷ 4) * 4) + (x rem 4)) ∈ ℤ
6. 0 ≤ (x rem 4)
7. x rem 4 < 4
8. 2r : ℤ
9. 2r = (2 * r) ∈ ℤ
10. 2r' : ℤ
11. 2r' = (2r + 1) ∈ ℤ
12. ¬x < 2r' * 2r'
13. (2r' * 2r') ≤ x
14. (x ÷ 4) ≤ (((r + 1) * (r + 1)) - 1)
15. (4 * (x ÷ 4)) ≤ (4 * (((r + 1) * (r + 1)) - 1))
⊢ x < (2r' + 1) * (2r' + 1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  r  :  \mBbbN{}
3.  (r  *  r)  \mleq{}  (x  \mdiv{}  4)
4.  x  \mdiv{}  4  <  (r  +  1)  *  (r  +  1)
5.  x  =  (((x  \mdiv{}  4)  *  4)  +  (x  rem  4))
6.  0  \mleq{}  (x  rem  4)
7.  x  rem  4  <  4
8.  2r  :  \mBbbZ{}
9.  2r  =  (2  *  r)
10.  2r'  :  \mBbbZ{}
11.  2r'  =  (2r  +  1)
12.  \mneg{}x  <  2r'  *  2r'
13.  (2r'  *  2r')  \mleq{}  x
\mvdash{}  x  <  (2r'  +  1)  *  (2r'  +  1)


By

---

Latex:
((Assert  (x  \mdiv{}  4)  \mleq{}  (((r  +  1)  *  (r  +  1))  -  1)  BY  Auto)  THEN  Mul  \mkleeneopen{}4\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{})

---

Home Index