---

Step * 2 1 1 1 of Lemma olympiad-problem-six


1. k : ℤ
2. a : ℕ
3. ∀a:ℕa. ∀b:ℕ.  ((((a * a) + (b * b)) = (k * ((a * b) + 1)) ∈ ℤ) ⇒ (∃n:ℤ. (k = (n * n) ∈ ℤ)))
4. b : ℕ
5. ((a * a) + (b * b)) = (k * ((a * b) + 1)) ∈ ℤ
6. ¬b < a
7. ¬(a = 0 ∈ ℤ)
8. 0 ≤ (a * a)
9. 0 ≤ (b * b)
10. 0 ≤ k
11. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
12. v : ℤ
13. ((k * a) - b) = v ∈ ℤ
14. ((v * v) + (a * a)) = (k * ((v * a) + 1)) ∈ ℤ
15. (b * v) = ((a * a) - k) ∈ ℤ
16. 1 ≤ a
17. (a * 1) ≤ (a * a)
18. 0 ≤ (v * v)
19. 1 ≤ (k * ((v * a) + 1))
⊢ 0 ≤ v
BY
{ ((Mul ⌜a⌝ 0⋅ THEN Auto) THEN SupposeNot) }

1
1. k : ℤ
2. a : ℕ
3. ∀a:ℕa. ∀b:ℕ.  ((((a * a) + (b * b)) = (k * ((a * b) + 1)) ∈ ℤ) ⇒ (∃n:ℤ. (k = (n * n) ∈ ℤ)))
4. b : ℕ
5. ((a * a) + (b * b)) = (k * ((a * b) + 1)) ∈ ℤ
6. ¬b < a
7. ¬(a = 0 ∈ ℤ)
8. 0 ≤ (a * a)
9. 0 ≤ (b * b)
10. 0 ≤ k
11. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
12. v : ℤ
13. ((k * a) - b) = v ∈ ℤ
14. ((v * v) + (a * a)) = (k * ((v * a) + 1)) ∈ ℤ
15. (b * v) = ((a * a) - k) ∈ ℤ
16. 1 ≤ a
17. (a * 1) ≤ (a * a)
18. 0 ≤ (v * v)
19. 1 ≤ (k * ((v * a) + 1))
20. ¬((a * 0) ≤ (a * v))
⊢ (a * 0) ≤ (a * v)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbZ{}
2.  a  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}a:\mBbbN{}a.  \mforall{}b:\mBbbN{}.    ((((a  *  a)  +  (b  *  b))  =  (k  *  ((a  *  b)  +  1)))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbZ{}.  (k  =  (n  *  n))))
4.  b  :  \mBbbN{}
5.  ((a  *  a)  +  (b  *  b))  =  (k  *  ((a  *  b)  +  1))
6.  \mneg{}b  <  a
7.  \mneg{}(a  =  0)
8.  0  \mleq{}  (a  *  a)
9.  0  \mleq{}  (b  *  b)
10.  0  \mleq{}  k
11.  \mneg{}(k  =  0)
12.  v  :  \mBbbZ{}
13.  ((k  *  a)  -  b)  =  v
14.  ((v  *  v)  +  (a  *  a))  =  (k  *  ((v  *  a)  +  1))
15.  (b  *  v)  =  ((a  *  a)  -  k)
16.  1  \mleq{}  a
17.  (a  *  1)  \mleq{}  (a  *  a)
18.  0  \mleq{}  (v  *  v)
19.  1  \mleq{}  (k  *  ((v  *  a)  +  1))
\mvdash{}  0  \mleq{}  v


By

---

Latex:
((Mul  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)  THEN  SupposeNot)

---

Home Index