---

Step * 1 2 1 1 2 1 of Lemma permutation-sign-flip

.....equality..... 
1. n : ℕ
2. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u:ℕn - 1].  (permutation-sign(n;f o (u, u + 1)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ)
3. d : ℤ
4. 0 < d
5. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ ((d - 1) + 1))
6. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
7. u : ℕn
8. v : ℕn
9. u < v
10. |u - v| ≤ (d + 1)
11. ¬(u = (v - 1) ∈ ℤ)
⊢ (u, v) = ((v, v - 1) o ((u, v - 1) o (v, v - 1))) ∈ (ℕn ⟶ ℕn)
BY
{ (((FunExt THENA Auto) THEN RepUR ``compose`` 0) THEN (Decide ⌜x = v ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u:ℕn - 1].  (permutation-sign(n;f o (u, u + 1)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ)
3. d : ℤ
4. 0 < d
5. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ ((d - 1) + 1))
6. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
7. u : ℕn
8. v : ℕn
9. u < v
10. |u - v| ≤ (d + 1)
11. ¬(u = (v - 1) ∈ ℤ)
12. x : ℕn
13. x = v ∈ ℤ
⊢ ((u, v) x) = ((v, v - 1) ((u, v - 1) ((v, v - 1) x))) ∈ ℕn

2
1. n : ℕ
2. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u:ℕn - 1].  (permutation-sign(n;f o (u, u + 1)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ)
3. d : ℤ
4. 0 < d
5. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ ((d - 1) + 1))
6. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
7. u : ℕn
8. v : ℕn
9. u < v
10. |u - v| ≤ (d + 1)
11. ¬(u = (v - 1) ∈ ℤ)
12. x : ℕn
13. ¬(x = v ∈ ℤ)
⊢ ((u, v) x) = ((v, v - 1) ((u, v - 1) ((v, v - 1) x))) ∈ ℕn

---

Latex:

---

Latex:
.....equality..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u:\mBbbN{}n  -  1].
          (permutation-sign(n;f  o  (u,  u  +  1))  =  (-permutation-sign(n;f)))
3.  d  :  \mBbbZ{}
4.  0  <  d
5.  \mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u,v:\mBbbN{}n].
          permutation-sign(n;f  o  (u,  v))  =  (-permutation-sign(n;f)) 
          supposing  (\mneg{}(u  =  v))  \mwedge{}  (|u  -  v|  \mleq{}  ((d  -  1)  +  1))
6.  f  :  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
7.  u  :  \mBbbN{}n
8.  v  :  \mBbbN{}n
9.  u  <  v
10.  |u  -  v|  \mleq{}  (d  +  1)
11.  \mneg{}(u  =  (v  -  1))
\mvdash{}  (u,  v)  =  ((v,  v  -  1)  o  ((u,  v  -  1)  o  (v,  v  -  1)))


By

---

Latex:
(((FunExt  THENA  Auto)  THEN  RepUR  ``compose``  0)  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}x  =  v\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index