---

Step * of Lemma triangular-num-alt

∀[n:ℕ]. (t(n) = (((n ÷ 2) + (n rem 2)) * ((2 * (n ÷ 2)) + 1)) ∈ ℤ)
BY
{ TACTIC:(Auto
          THEN (InstLemma `div_rem_sum` [⌜n⌝;⌜2⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN (InstLemma `rem_bounds_1` [⌜n⌝;⌜2⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN Unfold `triangular-num` 0
          THEN (RW (AddrC [2] (SweepUpC (HypC 2))) 0 THENA Auto)
          THEN (GenConcl ⌜(n ÷ 2) = k ∈ ℕ⌝⋅ THENA Auto)
          THEN GenConcl ⌜(n rem 2) = r ∈ ℕ2⌝⋅
          THEN Auto
          THEN All Thin) }

1
1. k : ℕ@i
2. r : ℕ2@i
⊢ ((((k * 2) + r) * (((k * 2) + r) + 1)) ÷ 2) = ((k + r) * ((2 * k) + 1)) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[n:\mBbbN{}].  (t(n)  =  (((n  \mdiv{}  2)  +  (n  rem  2))  *  ((2  *  (n  \mdiv{}  2))  +  1)))


By

---

Latex:
TACTIC:(Auto
                THEN  (InstLemma  `div\_rem\_sum`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (InstLemma  `rem\_bounds\_1`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  Unfold  `triangular-num`  0
                THEN  (RW  (AddrC  [2]  (SweepUpC  (HypC  2)))  0  THENA  Auto)
                THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(n  \mdiv{}  2)  =  k\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  GenConcl  \mkleeneopen{}(n  rem  2)  =  r\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  All  Thin)

---

Home Index