---

Step * 1 1 of Lemma omega_step_measure


1. n : ℕ
2. eqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
3. ineqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
4. 0 < dim(inl <eqs, ineqs>)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);eqs) ∈ i:ℕ||eqs||
   × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)} 
   × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?
7. x : i:ℕ||eqs|| × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)}  × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} 
8. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);eqs)
= (inl x)
∈ (i:ℕ||eqs|| × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)}  × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?)
⊢ (¬dim(let i,wj = x 
        in let w,j = wj 
           in case gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;eqs))
               of inl(eqs') =>
               case gcd-reduce-ineq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;ineqs))
                of inl(ineqs') =>
                inl <eqs', ineqs'>
                | inr(x) =>
                inr x 
               | inr(x) =>
               inr x ) < dim(inl <eqs, ineqs>))
⇒ (¬((dim(let i,wj = x 
           in let w,j = wj 
              in case gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;eqs))
                  of inl(eqs') =>
                  case gcd-reduce-ineq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;ineqs))
                   of inl(ineqs') =>
                   inl <eqs', ineqs'>
                   | inr(x) =>
                   inr x 
                  | inr(x) =>
                  inr x )
   = dim(inl <eqs, ineqs>)
   ∈ ℤ)
   ∧ num-eq-constraints(let i,wj = x 
                        in let w,j = wj 
                           in case gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;eqs))
                               of inl(eqs') =>
                               case gcd-reduce-ineq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;ineqs))
                                of inl(ineqs') =>
                                inl <eqs', ineqs'>
                                | inr(x) =>
                                inr x 
                               | inr(x) =>
                               inr x ) < num-eq-constraints(inl <eqs, ineqs>)))
⇒ False
BY
{ TACTIC:(RepeatFor 2 (D -2) THEN Reduce 0) }

1
1. n : ℕ
2. eqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
3. ineqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
4. 0 < dim(inl <eqs, ineqs>)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);eqs) ∈ i:ℕ||eqs||
   × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)} 
   × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?
7. i : ℕ||eqs||
8. x : {x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)} 
9. x2 : {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} 
10. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);eqs)
= (inl <i, x, x2>)
∈ (i:ℕ||eqs|| × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)}  × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?)
⊢ (¬dim(case gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(x;x2;eqs))
   of inl(eqs') =>
   case gcd-reduce-ineq-constraints([];exact-reduce-constraints(x;x2;ineqs))
    of inl(ineqs') =>
    inl <eqs', ineqs'>
    | inr(x) =>
    inr x 
   | inr(x) =>
   inr x ) < dim(inl <eqs, ineqs>))
⇒ (¬((dim(case gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(x;x2;eqs))
    of inl(eqs') =>
    case gcd-reduce-ineq-constraints([];exact-reduce-constraints(x;x2;ineqs))
     of inl(ineqs') =>
     inl <eqs', ineqs'>
     | inr(x) =>
     inr x 
    | inr(x) =>
    inr x )
   = dim(inl <eqs, ineqs>)
   ∈ ℤ)
   ∧ num-eq-constraints(case gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(x;x2;eqs))
      of inl(eqs') =>
      case gcd-reduce-ineq-constraints([];exact-reduce-constraints(x;x2;ineqs))
       of inl(ineqs') =>
       inl <eqs', ineqs'>
       | inr(x) =>
       inr x 
      | inr(x) =>
      inr x ) < num-eq-constraints(inl <eqs, ineqs>)))
⇒ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  eqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  +  1)\}    List
3.  ineqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  +  1)\}    List
4.  0  <  dim(inl  <eqs,  ineqs>)
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  first-success(\mlambda{}L.find-exact-eq-constraint(L);eqs)  \mmember{}  i:\mBbbN{}||eqs||
      \mtimes{}  x:\{x:\mBbbZ{}  List|  x  =  eqs[i]\} 
      \mtimes{}  \{i@0:\mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]|||  |eqs[i][i@0]|  =  1\}  ?
7.  x  :  i:\mBbbN{}||eqs||  \mtimes{}  x:\{x:\mBbbZ{}  List|  x  =  eqs[i]\}    \mtimes{}  \{i@0:\mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]|||  |eqs[i][i@0]|  =  1\} 
8.  first-success(\mlambda{}L.find-exact-eq-constraint(L);eqs)  =  (inl  x)
\mvdash{}  (\mneg{}dim(let  i,wj  =  x 
                in  let  w,j  =  wj 
                      in  case  gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;eqs))
                              of  inl(eqs')  =>
                              case  gcd-reduce-ineq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;ineqs))
                                of  inl(ineqs')  =>
                                inl  <eqs',  ineqs'>
                                |  inr(x)  =>
                                inr  x 
                              |  inr(x)  =>
                              inr  x  )  <  dim(inl  <eqs,  ineqs>))
{}\mRightarrow{}  (\mneg{}((dim(let  i,wj  =  x 
                      in  let  w,j  =  wj 
                            in  case  gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;eqs))
                                    of  inl(eqs')  =>
                                    case  gcd-reduce-ineq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;ineqs))
                                      of  inl(ineqs')  =>
                                      inl  <eqs',  ineqs'>
                                      |  inr(x)  =>
                                      inr  x 
                                    |  inr(x)  =>
                                    inr  x  )
      =  dim(inl  <eqs,  ineqs>))
      \mwedge{}  num-eq-constraints(let  i,wj  =  x 
                                                in  let  w,j  =  wj 
                                                      in  case  gcd-reduce-eq-constraints([];exact-reduce-constraints(w;j;eqs))
                                                              of  inl(eqs')  =>
                                                              case  gcd-reduce-ineq-constraints([];...)
                                                                of  inl(ineqs')  =>
                                                                inl  <eqs',  ineqs'>
                                                                |  inr(x)  =>
                                                                inr  x 
                                                              |  inr(x)  =>
                                                              inr  x  )  <  num-eq-constraints(inl  <eqs,  ineqs>)))
{}\mRightarrow{}  False


By

---

Latex:
TACTIC:(RepeatFor  2  (D  -2)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index