---

Step * 1 2 1 of Lemma omega_step_measure


1. n : ℕ
2. eqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
3. ineqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
4. 0 < dim(inl <eqs, ineqs>)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);eqs) ∈ i:ℕ||eqs||
   × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)} 
   × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?
7. y : Unit
8. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);eqs)
= (inr y )
∈ (i:ℕ||eqs|| × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)}  × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?)
9. eqs = [] ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List)
⊢ (¬dim(case gcd-reduce-ineq-constraints([];shadow_inequalities(ineqs))
   of inl(ineqs') =>
   inl <[], ineqs'>
   | inr(x) =>
   inr x ) < dim(inl <eqs, ineqs>))
⇒ (¬((dim(case gcd-reduce-ineq-constraints([];shadow_inequalities(ineqs))
    of inl(ineqs') =>
    inl <[], ineqs'>
    | inr(x) =>
    inr x )
   = dim(inl <eqs, ineqs>)
   ∈ ℤ)
   ∧ num-eq-constraints(case gcd-reduce-ineq-constraints([];shadow_inequalities(ineqs))
      of inl(ineqs') =>
      inl <[], ineqs'>
      | inr(x) =>
      inr x ) < num-eq-constraints(inl <eqs, ineqs>)))
⇒ False
BY
{ TACTIC:((GenConcl ⌜gcd-reduce-ineq-constraints([];shadow_inequalities(ineqs))
                     = xx
                     ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List?)⌝⋅
           THENA Auto
           )
          THEN D -2
          THEN RepUR ``int-problem-dimension num-eq-constraints`` 0
          THEN Try ((DVar `x' THEN Reduce 0))
          THEN (DVar `eqs' THEN Reduce 0)
          THEN DVar `ineqs'
          THEN Reduce 0
          THEN Auto
          THEN DVar `u'
          THEN DVar `u1'
          THEN D -2
          THEN Eliminate ⌜||u||⌝⋅
          THEN Eliminate ⌜||u1||⌝⋅
          THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  eqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  +  1)\}    List
3.  ineqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  +  1)\}    List
4.  0  <  dim(inl  <eqs,  ineqs>)
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  first-success(\mlambda{}L.find-exact-eq-constraint(L);eqs)  \mmember{}  i:\mBbbN{}||eqs||
      \mtimes{}  x:\{x:\mBbbZ{}  List|  x  =  eqs[i]\} 
      \mtimes{}  \{i@0:\mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]|||  |eqs[i][i@0]|  =  1\}  ?
7.  y  :  Unit
8.  first-success(\mlambda{}L.find-exact-eq-constraint(L);eqs)  =  (inr  y  )
9.  eqs  =  []
\mvdash{}  (\mneg{}dim(case  gcd-reduce-ineq-constraints([];shadow\_inequalities(ineqs))
      of  inl(ineqs')  =>
      inl  <[],  ineqs'>
      |  inr(x)  =>
      inr  x  )  <  dim(inl  <eqs,  ineqs>))
{}\mRightarrow{}  (\mneg{}((dim(case  gcd-reduce-ineq-constraints([];shadow\_inequalities(ineqs))
        of  inl(ineqs')  =>
        inl  <[],  ineqs'>
        |  inr(x)  =>
        inr  x  )
      =  dim(inl  <eqs,  ineqs>))
      \mwedge{}  num-eq-constraints(case  gcd-reduce-ineq-constraints([];shadow\_inequalities(ineqs))
            of  inl(ineqs')  =>
            inl  <[],  ineqs'>
            |  inr(x)  =>
            inr  x  )  <  num-eq-constraints(inl  <eqs,  ineqs>)))
{}\mRightarrow{}  False


By

---

Latex:
TACTIC:((GenConcl  \mkleeneopen{}gcd-reduce-ineq-constraints([];shadow\_inequalities(ineqs))  =  xx\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  D  -2
                THEN  RepUR  ``int-problem-dimension  num-eq-constraints``  0
                THEN  Try  ((DVar  `x'  THEN  Reduce  0))
                THEN  (DVar  `eqs'  THEN  Reduce  0)
                THEN  DVar  `ineqs'
                THEN  Reduce  0
                THEN  Auto
                THEN  DVar  `u'
                THEN  DVar  `u1'
                THEN  D  -2
                THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}||u||\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}||u1||\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THEN  Auto)

---

Home Index