Step
*
of Lemma
dl-ind_wf
∀[T:dl-Obj() ⟶ TYPE]. ∀[aprog:x:ℕ ⟶ T[prog(atm(x))]]. ∀[comp:x:Prog
                                                               ⟶ x1:Prog
                                                               ⟶ T[prog(x)]
                                                               ⟶ T[prog(x1)]
                                                               ⟶ T[prog((x;x1))]]. ∀[choose:x:Prog
                                                                                             ⟶ x1:Prog
                                                                                             ⟶ T[prog(x)]
                                                                                             ⟶ T[prog(x1)]
                                                                                             ⟶ T[prog(x ⋃ x1)]].
∀[iterate:x:Prog ⟶ T[prog(x)] ⟶ T[prog((x)*)]]. ∀[test:x:Prop ⟶ T[prop(x)] ⟶ T[prog((x)?)]].
∀[aprop:x:ℕ ⟶ T[prop(atm(x))]]. ∀[false:T[prop(0)]]. ∀[implies:x:Prop
                                                                ⟶ x1:Prop
                                                                ⟶ T[prop(x)]
                                                                ⟶ T[prop(x1)]
                                                                ⟶ T[prop(x 
⇒ x1)]]. ∀[and:x:Prop
                                                                                            ⟶ x1:Prop
                                                                                            ⟶ T[prop(x)]
                                                                                            ⟶ T[prop(x1)]
                                                                                            ⟶ T[prop(x ∧ x1)]].
∀[or:x:Prop ⟶ x1:Prop ⟶ T[prop(x)] ⟶ T[prop(x1)] ⟶ T[prop(x ∨ x1)]]. ∀[box:x:Prog
                                                                               ⟶ x1:Prop
                                                                               ⟶ T[prog(x)]
                                                                               ⟶ T[prop(x1)]
                                                                               ⟶ T[prop([x] x1)]].
∀[diamond:x:Prog ⟶ x1:Prop ⟶ T[prog(x)] ⟶ T[prop(x1)] ⟶ T[prop(<x> x1)]].
  (dl-ind(
          dl-aprog(x0)
⇒ aprog[x0];
          dl-comp(x1,x2)
⇒ x3,x4.comp[x1;x2;x3;x4];
          dl-choose(x5,x6)
⇒ x7,x8.choose[x5;x6;x7;x8];
          dl-iterate(x9)
⇒ x10.iterate[x9;x10];
          dl-test(x11)
⇒ x12.test[x11;x12];
          dl-aprop(x13)
⇒ aprop[x13];
          dl-false
⇒ false;
          dl-implies(x14,x15)
⇒ x16,x17.implies[x14;x15;x16;x17];
          dl-and(x18,x19)
⇒ x20,x21.and[x18;x19;x20;x21];
          dl-or(x22,x23)
⇒ x24,x25.or[x22;x23;x24;x25];
          dl-box(x26,x27)
⇒ x28,x29.box[x26;x27;x28;x29];
          dl-diamond(x30,x31)
⇒ x32,x33.diamond[x30;x31;x32;x33])  ∈ ∀x:dl-Obj(). T[x])
BY
{ MrecIndWf }
Latex:
Latex:
\mforall{}[T:dl-Obj()  {}\mrightarrow{}  TYPE].  \mforall{}[aprog:x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T[prog(atm(x))]].  \mforall{}[comp:x:Prog
                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  x1:Prog
                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  T[prog(x)]
                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  T[prog(x1)]
                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  T[prog((x;x1))]].
\mforall{}[choose:x:Prog  {}\mrightarrow{}  x1:Prog  {}\mrightarrow{}  T[prog(x)]  {}\mrightarrow{}  T[prog(x1)]  {}\mrightarrow{}  T[prog(x  \mcup{}  x1)]].
\mforall{}[iterate:x:Prog  {}\mrightarrow{}  T[prog(x)]  {}\mrightarrow{}  T[prog((x)*)]].  \mforall{}[test:x:Prop  {}\mrightarrow{}  T[prop(x)]  {}\mrightarrow{}  T[prog((x)?)]].
\mforall{}[aprop:x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T[prop(atm(x))]].  \mforall{}[false:T[prop(0)]].  \mforall{}[implies:x:Prop
                                                                                                                                {}\mrightarrow{}  x1:Prop
                                                                                                                                {}\mrightarrow{}  T[prop(x)]
                                                                                                                                {}\mrightarrow{}  T[prop(x1)]
                                                                                                                                {}\mrightarrow{}  T[prop(x  {}\mRightarrow{}  x1)]].
\mforall{}[and:x:Prop  {}\mrightarrow{}  x1:Prop  {}\mrightarrow{}  T[prop(x)]  {}\mrightarrow{}  T[prop(x1)]  {}\mrightarrow{}  T[prop(x  \mwedge{}  x1)]].  \mforall{}[or:x:Prop
                                                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  x1:Prop
                                                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  T[prop(x)]
                                                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  T[prop(x1)]
                                                                                                                                                              {}\mrightarrow{}  T[prop(x  \mvee{}  x1)]].
\mforall{}[box:x:Prog  {}\mrightarrow{}  x1:Prop  {}\mrightarrow{}  T[prog(x)]  {}\mrightarrow{}  T[prop(x1)]  {}\mrightarrow{}  T[prop([x]  x1)]].
\mforall{}[diamond:x:Prog  {}\mrightarrow{}  x1:Prop  {}\mrightarrow{}  T[prog(x)]  {}\mrightarrow{}  T[prop(x1)]  {}\mrightarrow{}  T[prop(<x>  x1)]].
    (dl-ind(
                    dl-aprog(x0){}\mRightarrow{}  aprog[x0];
                    dl-comp(x1,x2){}\mRightarrow{}  x3,x4.comp[x1;x2;x3;x4];
                    dl-choose(x5,x6){}\mRightarrow{}  x7,x8.choose[x5;x6;x7;x8];
                    dl-iterate(x9){}\mRightarrow{}  x10.iterate[x9;x10];
                    dl-test(x11){}\mRightarrow{}  x12.test[x11;x12];
                    dl-aprop(x13){}\mRightarrow{}  aprop[x13];
                    dl-false{}\mRightarrow{}  false;
                    dl-implies(x14,x15){}\mRightarrow{}  x16,x17.implies[x14;x15;x16;x17];
                    dl-and(x18,x19){}\mRightarrow{}  x20,x21.and[x18;x19;x20;x21];
                    dl-or(x22,x23){}\mRightarrow{}  x24,x25.or[x22;x23;x24;x25];
                    dl-box(x26,x27){}\mRightarrow{}  x28,x29.box[x26;x27;x28;x29];
                    dl-diamond(x30,x31){}\mRightarrow{}  x32,x33.diamond[x30;x31;x32;x33])    \mmember{}  \mforall{}x:dl-Obj().  T[x])
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