---

Step * 3 1 1 2 1 1 1 of Lemma dl-program-eq-equiv

.....antecedent..... 
1. a : Prog
2. b : Prog
3. i : ℤ
4. i = 2 ∈ ℤ
5. p : ℕ
6. ¬(p ∈ dl-prop-atoms() prog(a))
7. ¬(p ∈ dl-prop-atoms() prog(b))
8. ∀K:Type. ∀R:ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ. ∀P:ℕ ⟶ K ⟶ ℙ. ∀k:K.  ([|<a> atm(p) ⇒ <b> atm(p)|] k)
9. ∀K:Type. ∀R:ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ. ∀P:ℕ ⟶ K ⟶ ℙ. ∀k:K.  ([|<b> atm(p) ⇒ <a> atm(p)|] k)
10. K : Type
11. R : ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ
12. P : ℕ ⟶ K ⟶ ℙ
13. k1 : K
14. k2 : K
15. λ2a.λs.if (a =z p) then s = k2 ∈ K else P a s fi  ∈ ℕ ⟶ K ⟶ ℙ
16. [|a|] k1 k2
17. k' : K
18. [|b|] k1 k'
19. k' = k2 ∈ K
20. p = p ∈ ℤ
⊢ (∀n∈dl-prop-atoms() prog(b).∀k:K. (P[n] k ⇐⇒ (λs.if (n =z p) then s = k2 ∈ K else P n s fi ) k))
BY
{ (RWO "l_all_iff" 0 THEN Auto) }

1
1. a : Prog
2. b : Prog
3. i : ℤ
4. i = 2 ∈ ℤ
5. p : ℕ
6. ¬(p ∈ dl-prop-atoms() prog(a))
7. ¬(p ∈ dl-prop-atoms() prog(b))
8. ∀K:Type. ∀R:ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ. ∀P:ℕ ⟶ K ⟶ ℙ. ∀k:K.  ([|<a> atm(p) ⇒ <b> atm(p)|] k)
9. ∀K:Type. ∀R:ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ. ∀P:ℕ ⟶ K ⟶ ℙ. ∀k:K.  ([|<b> atm(p) ⇒ <a> atm(p)|] k)
10. K : Type
11. R : ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ
12. P : ℕ ⟶ K ⟶ ℙ
13. k1 : K
14. k2 : K
15. λ2a.λs.if (a =z p) then s = k2 ∈ K else P a s fi  ∈ ℕ ⟶ K ⟶ ℙ
16. [|a|] k1 k2
17. k' : K
18. [|b|] k1 k'
19. k' = k2 ∈ K
20. p = p ∈ ℤ
21. n : ℕ
22. (n ∈ dl-prop-atoms() prog(b))
23. k : K
24. P[n] k
⊢ (λs.if (n =z p) then s = k2 ∈ K else P n s fi ) k

2
1. a : Prog
2. b : Prog
3. i : ℤ
4. i = 2 ∈ ℤ
5. p : ℕ
6. ¬(p ∈ dl-prop-atoms() prog(a))
7. ¬(p ∈ dl-prop-atoms() prog(b))
8. ∀K:Type. ∀R:ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ. ∀P:ℕ ⟶ K ⟶ ℙ. ∀k:K.  ([|<a> atm(p) ⇒ <b> atm(p)|] k)
9. ∀K:Type. ∀R:ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ. ∀P:ℕ ⟶ K ⟶ ℙ. ∀k:K.  ([|<b> atm(p) ⇒ <a> atm(p)|] k)
10. K : Type
11. R : ℕ ⟶ K ⟶ K ⟶ ℙ
12. P : ℕ ⟶ K ⟶ ℙ
13. k1 : K
14. k2 : K
15. λ2a.λs.if (a =z p) then s = k2 ∈ K else P a s fi  ∈ ℕ ⟶ K ⟶ ℙ
16. [|a|] k1 k2
17. k' : K
18. [|b|] k1 k'
19. k' = k2 ∈ K
20. p = p ∈ ℤ
21. n : ℕ
22. (n ∈ dl-prop-atoms() prog(b))
23. k : K
24. (λs.if (n =z p) then s = k2 ∈ K else P n s fi ) k
⊢ P[n] k

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  a  :  Prog
2.  b  :  Prog
3.  i  :  \mBbbZ{}
4.  i  =  2
5.  p  :  \mBbbN{}
6.  \mneg{}(p  \mmember{}  dl-prop-atoms()  prog(a))
7.  \mneg{}(p  \mmember{}  dl-prop-atoms()  prog(b))
8.  \mforall{}K:Type.  \mforall{}R:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}P:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}k:K.    ([|<a>  atm(p)  {}\mRightarrow{}  <b>  atm(p)|]  k)
9.  \mforall{}K:Type.  \mforall{}R:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}P:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}k:K.    ([|<b>  atm(p)  {}\mRightarrow{}  <a>  atm(p)|]  k)
10.  K  :  Type
11.  R  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
12.  P  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
13.  k1  :  K
14.  k2  :  K
15.  \mlambda{}\msubtwo{}a.\mlambda{}s.if  (a  =\msubz{}  p)  then  s  =  k2  else  P  a  s  fi    \mmember{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  K  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
16.  [|a|]  k1  k2
17.  k'  :  K
18.  [|b|]  k1  k'
19.  k'  =  k2
20.  p  =  p
\mvdash{}  (\mforall{}n\mmember{}dl-prop-atoms()  prog(b).\mforall{}k:K.  (P[n]  k  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mlambda{}s.if  (n  =\msubz{}  p)  then  s  =  k2  else  P  n  s  fi  )  k))


By

---

Latex:
(RWO  "l\_all\_iff"  0  THEN  Auto)

---

Home Index