---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma fpf-decompose

.....falsecase..... 
1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ⟶ Type
4. f : a:A fp-> B[a]@i
5. ||fpf-domain(f)|| ≥ 1 
6. 0 < ||fpf-domain(f)||
7. fp : a:A fp-> B[a]
8. fnp : a:A fp-> B[a]
9. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(f)) ⇒ ((↑x ∈ dom(fp ⊕ fnp)) c∧ (f(x) = fp ⊕ fnp(x) ∈ B[x])))
10. fp ⊕ fnp ⊆ f
11. ∀a:A. ↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fp)
12. ∀a:A. ¬↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fnp)
13. fpf-domain(fp) ⊆ fpf-domain(f)
14. fpf-domain(fnp) ⊆ fpf-domain(f)
15. ↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(f)
16. ↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(fp ⊕ fnp)
17. f(hd(fpf-domain(f))) = fnp(hd(fpf-domain(f))) ∈ B[hd(fpf-domain(f))]
18. ¬↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(fp)
⊢ hd(fpf-domain(f)) : f(hd(fpf-domain(f))) ⊆ fnp
BY
{ (D 0
   THEN Auto
   THEN (((RWO "fpf-single-dom-sq" 20) THENM (RW assert_pushdownC 20)) THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN (((RWO "fpf-join-dom" 16) THENM D 16) THENA Auto)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  [A]  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(A)@i
3.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  f  :  a:A  fp->  B[a]@i
5.  ||fpf-domain(f)||  \mgeq{}  1 
6.  0  <  ||fpf-domain(f)||
7.  fp  :  a:A  fp->  B[a]
8.  fnp  :  a:A  fp->  B[a]
9.  \mforall{}x:A.  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(f))  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(fp  \moplus{}  fnp))  c\mwedge{}  (f(x)  =  fp  \moplus{}  fnp(x))))
10.  fp  \moplus{}  fnp  \msubseteq{}  f
11.  \mforall{}a:A.  \muparrow{}\mneg{}\msubb{}(eqof(eq)  a  hd(fpf-domain(f)))  supposing  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(fp)
12.  \mforall{}a:A.  \mneg{}\muparrow{}\mneg{}\msubb{}(eqof(eq)  a  hd(fpf-domain(f)))  supposing  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(fnp)
13.  fpf-domain(fp)  \msubseteq{}  fpf-domain(f)
14.  fpf-domain(fnp)  \msubseteq{}  fpf-domain(f)
15.  \muparrow{}hd(fpf-domain(f))  \mmember{}  dom(f)
16.  \muparrow{}hd(fpf-domain(f))  \mmember{}  dom(fp  \moplus{}  fnp)
17.  f(hd(fpf-domain(f)))  =  fnp(hd(fpf-domain(f)))
18.  \mneg{}\muparrow{}hd(fpf-domain(f))  \mmember{}  dom(fp)
\mvdash{}  hd(fpf-domain(f))  :  f(hd(fpf-domain(f)))  \msubseteq{}  fnp


By

---

Latex:
(D  0
  THEN  Auto
  THEN  (((RWO  "fpf-single-dom-sq"  20)  THENM  (RW  assert\_pushdownC  20))  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  (((RWO  "fpf-join-dom"  16)  THENM  D  16)  THENA  Auto)
  THEN  Auto)

---

Home Index