---

Step * 1 2 2 2 2 1 1 1 1 of Lemma fpf-split


1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)
3. [B] : A ⟶ Type
4. d : A List
5. f1 : a:{a:A| (a ∈ d)}  ⟶ B[a]
6. [P] : A ⟶ ℙ
7. dec : ∀a:A. Dec(P[a])
8. <d, f1> ∈ a:A fp-> B[a]
9. <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
10. <filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
11. <d, f1> ⊆ <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ⊕ <filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1>
12. x : A
13. ((x ∈ d) ∧ P[x]) ∨ (((x ∈ d) ∧ (¬P[x])) ∧ (¬(x ∈ filter(λa.[dec a]b;d))))
⊢ (↑x ∈b d) c∧ (if x ∈b filter(λa.[dec a]b;d) then f1 x else f1 x fi  = (f1 x) ∈ B[x])
BY
{ Auto }

1
1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)
3. [B] : A ⟶ Type
4. d : A List
5. f1 : a:{a:A| (a ∈ d)}  ⟶ B[a]
6. [P] : A ⟶ ℙ
7. dec : ∀a:A. Dec(P[a])
8. <d, f1> ∈ a:A fp-> B[a]
9. <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
10. <filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
11. <d, f1> ⊆ <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ⊕ <filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1>
12. x : A
13. ((x ∈ d) ∧ P[x]) ∨ (((x ∈ d) ∧ (¬P[x])) ∧ (¬(x ∈ filter(λa.[dec a]b;d))))
⊢ (x ∈ d)

2
1. A : Type
2. eq : EqDecider(A)
3. B : A ⟶ Type
4. d : A List
5. f1 : a:{a:A| (a ∈ d)}  ⟶ B[a]
6. P : A ⟶ ℙ
7. dec : ∀a:A. Dec(P[a])
8. <d, f1> ∈ a:A fp-> B[a]
9. <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
10. <filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
11. <d, f1> ⊆ <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ⊕ <filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1>
12. x : A
13. ((x ∈ d) ∧ P[x]) ∨ (((x ∈ d) ∧ (¬P[x])) ∧ (¬(x ∈ filter(λa.[dec a]b;d))))
14. ↑x ∈b d
⊢ x ∈ {a:A| (a ∈ d)} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(A)
3.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  d  :  A  List
5.  f1  :  a:\{a:A|  (a  \mmember{}  d)\}    {}\mrightarrow{}  B[a]
6.  [P]  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  dec  :  \mforall{}a:A.  Dec(P[a])
8.  <d,  f1>  \mmember{}  a:A  fp->  B[a]
9.  <filter(\mlambda{}a.[dec  a]\msubb{};d),  f1>  \mmember{}  a:A  fp->  B[a]
10.  <filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}[dec  a]\msubb{});d),  f1>  \mmember{}  a:A  fp->  B[a]
11.  <d,  f1>  \msubseteq{}  <filter(\mlambda{}a.[dec  a]\msubb{};d),  f1>  \moplus{}  <filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}[dec  a]\msubb{});d),  f1>
12.  x  :  A
13.  ((x  \mmember{}  d)  \mwedge{}  P[x])  \mvee{}  (((x  \mmember{}  d)  \mwedge{}  (\mneg{}P[x]))  \mwedge{}  (\mneg{}(x  \mmember{}  filter(\mlambda{}a.[dec  a]\msubb{};d))))
\mvdash{}  (\muparrow{}x  \mmember{}\msubb{}  d)  c\mwedge{}  (if  x  \mmember{}\msubb{}  filter(\mlambda{}a.[dec  a]\msubb{};d)  then  f1  x  else  f1  x  fi    =  (f1  x))


By

---

Latex:
Auto

---

Home Index