---

Step * 2 2 1 of Lemma fpf-sub-functionality


1. A : Type
2. A' : Type
3. strong-subtype(A;A')
4. B : A ⟶ Type
5. C : A' ⟶ Type
6. eq : EqDecider(A)
7. eq' : EqDecider(A')
8. f : a:A fp-> B[a]
9. g : a:A fp-> B[a]
10. ∀a:A. (B[a] ⊆r C[a])
11. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(f)) ⇒ ((↑x ∈ dom(g)) c∧ (((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x])))
12. ∀b:A'. ∀a:A.  ((b = a ∈ A') ⇒ (b = a ∈ A))
13. x : A
14. ↑x ∈ dom(f)
15. ↑x ∈ dom(g)
16. ((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x]
17. ↑x ∈ dom(g)
⊢ ((snd(g)) x) = ((snd(g)) x) ∈ C[x]
BY
{ xxx(Fold `member` 0 THEN Subst ⌜(snd(g)) x ~ g(x)⌝ 0⋅)xxx }

1
.....equality..... 
1. A : Type
2. A' : Type
3. strong-subtype(A;A')
4. B : A ⟶ Type
5. C : A' ⟶ Type
6. eq : EqDecider(A)
7. eq' : EqDecider(A')
8. f : a:A fp-> B[a]
9. g : a:A fp-> B[a]
10. ∀a:A. (B[a] ⊆r C[a])
11. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(f)) ⇒ ((↑x ∈ dom(g)) c∧ (((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x])))
12. ∀b:A'. ∀a:A.  ((b = a ∈ A') ⇒ (b = a ∈ A))
13. x : A
14. ↑x ∈ dom(f)
15. ↑x ∈ dom(g)
16. ((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x]
17. ↑x ∈ dom(g)
⊢ (snd(g)) x ~ g(x)

2
1. A : Type
2. A' : Type
3. strong-subtype(A;A')
4. B : A ⟶ Type
5. C : A' ⟶ Type
6. eq : EqDecider(A)
7. eq' : EqDecider(A')
8. f : a:A fp-> B[a]
9. g : a:A fp-> B[a]
10. ∀a:A. (B[a] ⊆r C[a])
11. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(f)) ⇒ ((↑x ∈ dom(g)) c∧ (((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x])))
12. ∀b:A'. ∀a:A.  ((b = a ∈ A') ⇒ (b = a ∈ A))
13. x : A
14. ↑x ∈ dom(f)
15. ↑x ∈ dom(g)
16. ((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x]
17. ↑x ∈ dom(g)
⊢ g(x) ∈ C[x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  A'  :  Type
3.  strong-subtype(A;A')
4.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
5.  C  :  A'  {}\mrightarrow{}  Type
6.  eq  :  EqDecider(A)
7.  eq'  :  EqDecider(A')
8.  f  :  a:A  fp->  B[a]
9.  g  :  a:A  fp->  B[a]
10.  \mforall{}a:A.  (B[a]  \msubseteq{}r  C[a])
11.  \mforall{}x:A.  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(f))  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(g))  c\mwedge{}  (((snd(f))  x)  =  ((snd(g))  x))))
12.  \mforall{}b:A'.  \mforall{}a:A.    ((b  =  a)  {}\mRightarrow{}  (b  =  a))
13.  x  :  A
14.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(f)
15.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(g)
16.  ((snd(f))  x)  =  ((snd(g))  x)
17.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(g)
\mvdash{}  ((snd(g))  x)  =  ((snd(g))  x)


By

---

Latex:
xxx(Fold  `member`  0  THEN  Subst  \mkleeneopen{}(snd(g))  x  \msim{}  g(x)\mkleeneclose{}  0\mcdot{})xxx

---

Home Index