---

Step * 1 1 1 of Lemma code-coded-seq1


1. k : ℤ
2. ¬k + 1 < 1
3. k ≠ 0
4. 0 < k
5. ∀[x:ℕ]. (code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;x;n)) = x ∈ ℤ)
6. x : ℕ
7. v1 : ℕ
8. v2 : ℕ
9. coded-pair(x) = <v1, v2> ∈ (ℕ × ℕ)
10. code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;v1;n)) = v1 ∈ ℤ
⊢ code-pair(code-seq1(k;λn.if (n =z k) then v2 else coded-seq1(k - 1;v1;n) fi );v2) = x ∈ ℤ
BY
{ xxxSubst ⌜(λn.if (n =z k) then v2 else coded-seq1(k - 1;v1;n) fi ) = (λn.coded-seq1(k - 1;v1;n)) ∈ (ℕk ⟶ ℕ)⌝ 0⋅xxx }

1
.....equality..... 
1. k : ℤ
2. ¬k + 1 < 1
3. k ≠ 0
4. 0 < k
5. ∀[x:ℕ]. (code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;x;n)) = x ∈ ℤ)
6. x : ℕ
7. v1 : ℕ
8. v2 : ℕ
9. coded-pair(x) = <v1, v2> ∈ (ℕ × ℕ)
10. code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;v1;n)) = v1 ∈ ℤ
⊢ (λn.if (n =z k) then v2 else coded-seq1(k - 1;v1;n) fi ) = (λn.coded-seq1(k - 1;v1;n)) ∈ (ℕk ⟶ ℕ)

2
1. k : ℤ
2. ¬k + 1 < 1
3. k ≠ 0
4. 0 < k
5. ∀[x:ℕ]. (code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;x;n)) = x ∈ ℤ)
6. x : ℕ
7. v1 : ℕ
8. v2 : ℕ
9. coded-pair(x) = <v1, v2> ∈ (ℕ × ℕ)
10. code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;v1;n)) = v1 ∈ ℤ
⊢ code-pair(code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;v1;n));v2) = x ∈ ℤ

3
.....wf..... 
1. k : ℤ
2. ¬k + 1 < 1
3. k ≠ 0
4. 0 < k
5. ∀[x:ℕ]. (code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;x;n)) = x ∈ ℤ)
6. x : ℕ
7. v1 : ℕ
8. v2 : ℕ
9. coded-pair(x) = <v1, v2> ∈ (ℕ × ℕ)
10. code-seq1(k;λn.coded-seq1(k - 1;v1;n)) = v1 ∈ ℤ
11. z : ℕk ⟶ ℕ
⊢ code-pair(code-seq1(k;z);v2) = x ∈ ℤ ∈ ℙ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbZ{}
2.  \mneg{}k  +  1  <  1
3.  k  \mneq{}  0
4.  0  <  k
5.  \mforall{}[x:\mBbbN{}].  (code-seq1(k;\mlambda{}n.coded-seq1(k  -  1;x;n))  =  x)
6.  x  :  \mBbbN{}
7.  v1  :  \mBbbN{}
8.  v2  :  \mBbbN{}
9.  coded-pair(x)  =  <v1,  v2>
10.  code-seq1(k;\mlambda{}n.coded-seq1(k  -  1;v1;n))  =  v1
\mvdash{}  code-pair(code-seq1(k;\mlambda{}n.if  (n  =\msubz{}  k)  then  v2  else  coded-seq1(k  -  1;v1;n)  fi  );v2)  =  x


By

---

Latex:
xxxSubst  \mkleeneopen{}(\mlambda{}n.if  (n  =\msubz{}  k)  then  v2  else  coded-seq1(k  -  1;v1;n)  fi  )  =  (\mlambda{}n.coded-seq1(k  -  1;v1;n))\mkleeneclose{}  0
\mcdot{}xxx

---

Home Index