---

Step * 1 2 2 2 of Lemma decidable__wellfound-bounded-exists


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  Dec(R x y)@i
5. ∀x:T. Dec(P[x])@i
6. ∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L))@i
7. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀j:T. ((∀k:T. ((R k j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ {∀n:T. P[n]})@i'
8. z : T@i
9. ∀k:T. ((R k z) ⇒ Dec(∃x:T. ((R+ x k) ∧ P[x])))@i
10. L : T List
11. ∀x:T. ((R x z) ⇒ (x ∈ L))
12. ¬(∃y∈L. (R y z) ∧ (∃x:T. ((R+ x y) ∧ P[x])))
13. ¬(∃y∈L. (R y z) ∧ P[y])
⊢ ¬(∃x:T. ((R+ x z) ∧ P[x]))
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN ExRepD THEN ((FLemma `rel_plus_implies` [-2]) THENA Auto) THEN D -1) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  Dec(R x y)@i
5. ∀x:T. Dec(P[x])@i
6. ∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L))@i
7. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀j:T. ((∀k:T. ((R k j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ {∀n:T. P[n]})@i'
8. z : T@i
9. ∀k:T. ((R k z) ⇒ Dec(∃x:T. ((R+ x k) ∧ P[x])))@i
10. L : T List
11. ∀x:T. ((R x z) ⇒ (x ∈ L))
12. ¬(∃y∈L. (R y z) ∧ (∃x:T. ((R+ x y) ∧ P[x])))
13. ¬(∃y∈L. (R y z) ∧ P[y])
14. x : T@i
15. R+ x z@i
16. P[x]@i
17. x R z
⊢ False

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  Dec(R x y)@i
5. ∀x:T. Dec(P[x])@i
6. ∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L))@i
7. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀j:T. ((∀k:T. ((R k j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ {∀n:T. P[n]})@i'
8. z : T@i
9. ∀k:T. ((R k z) ⇒ Dec(∃x:T. ((R+ x k) ∧ P[x])))@i
10. L : T List
11. ∀x:T. ((R x z) ⇒ (x ∈ L))
12. ¬(∃y∈L. (R y z) ∧ (∃x:T. ((R+ x y) ∧ P[x])))
13. ¬(∃y∈L. (R y z) ∧ P[y])
14. x : T@i
15. R+ x z@i
16. P[x]@i
17. ∃z1:T. ((x R+ z1) ∧ (z1 R z))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [P]  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}x,y:T.    Dec(R  x  y)@i
5.  \mforall{}x:T.  Dec(P[x])@i
6.  \mforall{}y:T.  \mexists{}L:T  List.  \mforall{}x:T.  ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L))@i
7.  \mforall{}[P:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  ((\mforall{}j:T.  ((\mforall{}k:T.  ((R  k  j)  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j]))  {}\mRightarrow{}  \{\mforall{}n:T.  P[n]\})@i'
8.  z  :  T@i
9.  \mforall{}k:T.  ((R  k  z)  {}\mRightarrow{}  Dec(\mexists{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  k)  \mwedge{}  P[x])))@i
10.  L  :  T  List
11.  \mforall{}x:T.  ((R  x  z)  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L))
12.  \mneg{}(\mexists{}y\mmember{}L.  (R  y  z)  \mwedge{}  (\mexists{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  y)  \mwedge{}  P[x])))
13.  \mneg{}(\mexists{}y\mmember{}L.  (R  y  z)  \mwedge{}  P[y])
\mvdash{}  \mneg{}(\mexists{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  z)  \mwedge{}  P[x]))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)  THEN  ExRepD  THEN  ((FLemma  `rel\_plus\_implies`  [-2])  THENA  Auto)  THEN  D  -1)

---

Home Index