---

Step * 1 1 of Lemma implies-sum-of-two-squares


1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
3. x : ℕ
4. ∀x:ℕx. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
5. 0 < x
6. w : ℤ
7. y : ℤ
8. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. ∃d:ℕ. ((d | n) ∧ (2 ≤ d) ∧ ((d * d) | n))
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)
BY
{ ((ExRepD THEN D -1)
   THEN Mul ⌜d⌝ (-3)⋅
   THEN ((Decide ⌜c ≤ 0⌝⋅ THENA Auto) THENL [(Mul ⌜d * d⌝ (-1)⋅ THEN Auto); (Decide ⌜n ≤ c⌝⋅ THENA Auto)])) }

1
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
3. x : ℕ
4. ∀x:ℕx. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
5. 0 < x
6. w : ℤ
7. y : ℤ
8. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. d : ℕ
11. d | n
12. 2 ≤ d
13. c : ℤ
14. n = ((d * d) * c) ∈ ℤ
15. (d * 2) ≤ (d * d)
16. ¬(c ≤ 0)
17. n ≤ c
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)

2
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
3. x : ℕ
4. ∀x:ℕx. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
5. 0 < x
6. w : ℤ
7. y : ℤ
8. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. d : ℕ
11. d | n
12. 2 ≤ d
13. c : ℤ
14. n = ((d * d) * c) ∈ ℤ
15. (d * 2) ≤ (d * d)
16. ¬(c ≤ 0)
17. ¬(n ≤ c)
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}x:\mBbbN{}.
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
3.  x  :  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x:\mBbbN{}x
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
5.  0  <  x
6.  w  :  \mBbbZ{}
7.  y  :  \mBbbZ{}
8.  (n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))
9.  \mneg{}(n  =  0)
10.  \mexists{}d:\mBbbN{}.  ((d  |  n)  \mwedge{}  (2  \mleq{}  d)  \mwedge{}  ((d  *  d)  |  n))
\mvdash{}  \mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))


By

---

Latex:
((ExRepD  THEN  D  -1)
  THEN  Mul  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}  (-3)\mcdot{}
  THEN  ((Decide  \mkleeneopen{}c  \mleq{}  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
              THENL  [(Mul  \mkleeneopen{}d  *  d\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto);  (Decide  \mkleeneopen{}n  \mleq{}  c\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)]
  ))

---

Home Index