---

Step * 1 of Lemma iseg-as-filter


1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. sa : T List
4. sb : T List
5. Irrefl(T;x,y.R x y)
6. AntiSym(T;x,y.R x y)
7. sa ≤ sb
8. sorted-by(R;sb)
9. ∀x:T. ((x ∈ sa) ⇐⇒ (¬↑null(sa)) ∧ (x ∈ sb) ∧ ((x = last(sa) ∈ T) ∨ (R x last(sa))))
10. Trans(T;a,b.R a b)
11. dR : T ⟶ T ⟶ 𝔹
12. ∀x,y:T.  (↑(dR x y) ⇐⇒ (R x y) ∨ (x = y ∈ T))
13. ¬↑null(sa)
14. ∀[sa,sb:T List].  (sa = sb ∈ (T List)) supposing (sorted-by(R;sa) and sorted-by(R;sb) and set-equal(T;sa;sb))
⊢ set-equal(T;sa;filter(λx.(dR x last(sa));sb))
BY
{ (UnfoldTopAb 0 THEN ParallelOp 9) }

1
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. sa : T List
4. sb : T List
5. Irrefl(T;x,y.R x y)
6. AntiSym(T;x,y.R x y)
7. sa ≤ sb
8. sorted-by(R;sb)
9. ∀x:T. ((x ∈ sa) ⇐⇒ (¬↑null(sa)) ∧ (x ∈ sb) ∧ ((x = last(sa) ∈ T) ∨ (R x last(sa))))
10. Trans(T;a,b.R a b)
11. dR : T ⟶ T ⟶ 𝔹
12. ∀x,y:T.  (↑(dR x y) ⇐⇒ (R x y) ∨ (x = y ∈ T))
13. ¬↑null(sa)
14. ∀[sa,sb:T List].  (sa = sb ∈ (T List)) supposing (sorted-by(R;sa) and sorted-by(R;sb) and set-equal(T;sa;sb))
15. t : T@i
16. (t ∈ sa) ⇐⇒ (¬↑null(sa)) ∧ (t ∈ sb) ∧ ((t = last(sa) ∈ T) ∨ (R t last(sa)))
⊢ (t ∈ sa) ⇐⇒ (t ∈ filter(λx.(dR x last(sa));sb))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  R  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  sa  :  T  List
4.  sb  :  T  List
5.  Irrefl(T;x,y.R  x  y)
6.  AntiSym(T;x,y.R  x  y)
7.  sa  \mleq{}  sb
8.  sorted-by(R;sb)
9.  \mforall{}x:T.  ((x  \mmember{}  sa)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}null(sa))  \mwedge{}  (x  \mmember{}  sb)  \mwedge{}  ((x  =  last(sa))  \mvee{}  (R  x  last(sa))))
10.  Trans(T;a,b.R  a  b)
11.  dR  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
12.  \mforall{}x,y:T.    (\muparrow{}(dR  x  y)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (R  x  y)  \mvee{}  (x  =  y))
13.  \mneg{}\muparrow{}null(sa)
14.  \mforall{}[sa,sb:T  List].
            (sa  =  sb)  supposing  (sorted-by(R;sa)  and  sorted-by(R;sb)  and  set-equal(T;sa;sb))
\mvdash{}  set-equal(T;sa;filter(\mlambda{}x.(dR  x  last(sa));sb))


By

---

Latex:
(UnfoldTopAb  0  THEN  ParallelOp  9)

---

Home Index