---

Step * 1 of Lemma sparse-signed-rep-exists


1. [n] : ℕ
2. ∀[m:ℕn]
     ∀m@0:ℤ
       ∃L:{-1..2-} List [((m@0 = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                        ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                        ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))] 
       supposing |m@0| ≤ m
3. m : ℤ
4. |m| ≤ n
⊢ ∃L:{-1..2-} List [((m = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                   ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                   ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))]
BY
{ (Decide ⌜m = 0 ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. [n] : ℕ
2. ∀[m:ℕn]
     ∀m@0:ℤ
       ∃L:{-1..2-} List [((m@0 = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                        ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                        ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))] 
       supposing |m@0| ≤ m
3. m : ℤ
4. |m| ≤ n
5. m = 0 ∈ ℤ
⊢ ∃L:{-1..2-} List [((m = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                   ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                   ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))]

2
1. [n] : ℕ
2. ∀[m:ℕn]
     ∀m@0:ℤ
       ∃L:{-1..2-} List [((m@0 = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                        ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                        ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))] 
       supposing |m@0| ≤ m
3. m : ℤ
4. |m| ≤ n
5. ¬(m = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∃L:{-1..2-} List [((m = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                   ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                   ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [n]  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}[m:\mBbbN{}n]
          \mforall{}m@0:\mBbbZ{}
              \mexists{}L:\{-1..2\msupminus{}\}  List  [((m@0  =  \mSigma{}i<||L||.L[i]*2\^{}i)
                                                \mwedge{}  (0  <  ||L||  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(last(L)  =  0)))
                                                \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L||  -  1.  ((L[i]  =  0)  \mvee{}  (L[i  +  1]  =  0))))] 
              supposing  |m@0|  \mleq{}  m
3.  m  :  \mBbbZ{}
4.  |m|  \mleq{}  n
\mvdash{}  \mexists{}L:\{-1..2\msupminus{}\}  List  [((m  =  \mSigma{}i<||L||.L[i]*2\^{}i)
                                      \mwedge{}  (0  <  ||L||  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(last(L)  =  0)))
                                      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L||  -  1.  ((L[i]  =  0)  \mvee{}  (L[i  +  1]  =  0))))]


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}m  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index