---

Step * 1 1 2 2 1 1 of Lemma wilson-theorem


1. n : {i:ℤ| 1 < i} 
2. prime(n)
3. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;1) (rotate-by(n;n - 1) b)) = b ∈ ℕn)
4. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;n - 1) (rotate-by(n;1) b)) = b ∈ ℕn)
5. cyclic-map(ℕn) ~ ℕ(n - 1)!
6. Inj(cyclic-map(ℕn);cyclic-map(ℕn);λf.(rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))))
7. f : ℕn ⟶ ℕn
8. (rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))) = f ∈ (ℕn ⟶ ℕn)
9. ∀x:ℕn. ((f x) = ((f (x + 1 rem n)) + (n - 1) rem n) ∈ ℕn)
10. x : ℕn
⊢ (f x) = (x + (f 0) rem n) ∈ ℤ
BY
{ Assert ⌜∀i:ℕ. (i < n ⇒ ((f (n - i + 1)) = ((n - i + 1) + (f 0) rem n) ∈ ℤ))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : {i:ℤ| 1 < i} 
2. prime(n)
3. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;1) (rotate-by(n;n - 1) b)) = b ∈ ℕn)
4. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;n - 1) (rotate-by(n;1) b)) = b ∈ ℕn)
5. cyclic-map(ℕn) ~ ℕ(n - 1)!
6. Inj(cyclic-map(ℕn);cyclic-map(ℕn);λf.(rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))))
7. f : ℕn ⟶ ℕn
8. (rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))) = f ∈ (ℕn ⟶ ℕn)
9. ∀x:ℕn. ((f x) = ((f (x + 1 rem n)) + (n - 1) rem n) ∈ ℕn)
10. x : ℕn
⊢ ∀i:ℕ. (i < n ⇒ ((f (n - i + 1)) = ((n - i + 1) + (f 0) rem n) ∈ ℤ))

2
1. n : {i:ℤ| 1 < i} 
2. prime(n)
3. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;1) (rotate-by(n;n - 1) b)) = b ∈ ℕn)
4. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;n - 1) (rotate-by(n;1) b)) = b ∈ ℕn)
5. cyclic-map(ℕn) ~ ℕ(n - 1)!
6. Inj(cyclic-map(ℕn);cyclic-map(ℕn);λf.(rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))))
7. f : ℕn ⟶ ℕn
8. (rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))) = f ∈ (ℕn ⟶ ℕn)
9. ∀x:ℕn. ((f x) = ((f (x + 1 rem n)) + (n - 1) rem n) ∈ ℕn)
10. x : ℕn
11. ∀i:ℕ. (i < n ⇒ ((f (n - i + 1)) = ((n - i + 1) + (f 0) rem n) ∈ ℤ))
⊢ (f x) = (x + (f 0) rem n) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{i:\mBbbZ{}|  1  <  i\} 
2.  prime(n)
3.  \mforall{}b:\mBbbN{}n.  ((rotate-by(n;1)  (rotate-by(n;n  -  1)  b))  =  b)
4.  \mforall{}b:\mBbbN{}n.  ((rotate-by(n;n  -  1)  (rotate-by(n;1)  b))  =  b)
5.  cyclic-map(\mBbbN{}n)  \msim{}  \mBbbN{}(n  -  1)!
6.  Inj(cyclic-map(\mBbbN{}n);cyclic-map(\mBbbN{}n);\mlambda{}f.(rotate-by(n;n  -  1)  o  (f  o  rotate-by(n;1))))
7.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
8.  (rotate-by(n;n  -  1)  o  (f  o  rotate-by(n;1)))  =  f
9.  \mforall{}x:\mBbbN{}n.  ((f  x)  =  ((f  (x  +  1  rem  n))  +  (n  -  1)  rem  n))
10.  x  :  \mBbbN{}n
\mvdash{}  (f  x)  =  (x  +  (f  0)  rem  n)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}i:\mBbbN{}.  (i  <  n  {}\mRightarrow{}  ((f  (n  -  i  +  1))  =  ((n  -  i  +  1)  +  (f  0)  rem  n)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index