---

Step * 1 1 2 2 2 2 of Lemma wilson-theorem


1. n : {i:ℤ| 1 < i} 
2. prime(n)
3. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;1) (rotate-by(n;n - 1) b)) = b ∈ ℕn)
4. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;n - 1) (rotate-by(n;1) b)) = b ∈ ℕn)
5. cyclic-map(ℕn) ~ ℕ(n - 1)!
6. Inj(cyclic-map(ℕn);cyclic-map(ℕn);λf.(rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))))
7. ∀f:{x:ℕn ⟶ ℕn| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ (ℕn ⟶ ℕn)} . (f = rotate-by(n;f 0) ∈ (ℕn ⟶ ℕn))
8. ∀f:{x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ (ℕn ⟶ ℕn)} . (¬((f 0) = 0 ∈ ℤ))
⊢ {x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ cyclic-map(ℕn)}  ~ ℕn - 1
BY
{ With ⌜λf.((f 0) - 1)⌝ (D 0)⋅ }

1
.....wf..... 
1. n : {i:ℤ| 1 < i} 
2. prime(n)
3. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;1) (rotate-by(n;n - 1) b)) = b ∈ ℕn)
4. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;n - 1) (rotate-by(n;1) b)) = b ∈ ℕn)
5. cyclic-map(ℕn) ~ ℕ(n - 1)!
6. Inj(cyclic-map(ℕn);cyclic-map(ℕn);λf.(rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))))
7. ∀f:{x:ℕn ⟶ ℕn| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ (ℕn ⟶ ℕn)} . (f = rotate-by(n;f 0) ∈ (ℕn ⟶ ℕn))
8. ∀f:{x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ (ℕn ⟶ ℕn)} . (¬((f 0) = 0 ∈ ℤ))
⊢ λf.((f 0) - 1) ∈ {x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ cyclic-map(ℕn)}  ⟶ ℕn - 1

2
1. n : {i:ℤ| 1 < i} 
2. prime(n)
3. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;1) (rotate-by(n;n - 1) b)) = b ∈ ℕn)
4. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;n - 1) (rotate-by(n;1) b)) = b ∈ ℕn)
5. cyclic-map(ℕn) ~ ℕ(n - 1)!
6. Inj(cyclic-map(ℕn);cyclic-map(ℕn);λf.(rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))))
7. ∀f:{x:ℕn ⟶ ℕn| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ (ℕn ⟶ ℕn)} . (f = rotate-by(n;f 0) ∈ (ℕn ⟶ ℕn))
8. ∀f:{x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ (ℕn ⟶ ℕn)} . (¬((f 0) = 0 ∈ ℤ))
⊢ Bij({x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ cyclic-map(ℕn)} ;ℕn - 1;λf.((f 0) - 1))

3
.....wf..... 
1. n : {i:ℤ| 1 < i} 
2. prime(n)
3. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;1) (rotate-by(n;n - 1) b)) = b ∈ ℕn)
4. ∀b:ℕn. ((rotate-by(n;n - 1) (rotate-by(n;1) b)) = b ∈ ℕn)
5. cyclic-map(ℕn) ~ ℕ(n - 1)!
6. Inj(cyclic-map(ℕn);cyclic-map(ℕn);λf.(rotate-by(n;n - 1) o (f o rotate-by(n;1))))
7. ∀f:{x:ℕn ⟶ ℕn| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ (ℕn ⟶ ℕn)} . (f = rotate-by(n;f 0) ∈ (ℕn ⟶ ℕn))
8. ∀f:{x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ (ℕn ⟶ ℕn)} . (¬((f 0) = 0 ∈ ℤ))
9. f : {x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ cyclic-map(ℕn)}  ⟶ ℕn - 1
⊢ istype(Bij({x:cyclic-map(ℕn)| (rotate-by(n;n - 1) o (x o rotate-by(n;1))) = x ∈ cyclic-map(ℕn)} ;ℕn - 1;f))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{i:\mBbbZ{}|  1  <  i\} 
2.  prime(n)
3.  \mforall{}b:\mBbbN{}n.  ((rotate-by(n;1)  (rotate-by(n;n  -  1)  b))  =  b)
4.  \mforall{}b:\mBbbN{}n.  ((rotate-by(n;n  -  1)  (rotate-by(n;1)  b))  =  b)
5.  cyclic-map(\mBbbN{}n)  \msim{}  \mBbbN{}(n  -  1)!
6.  Inj(cyclic-map(\mBbbN{}n);cyclic-map(\mBbbN{}n);\mlambda{}f.(rotate-by(n;n  -  1)  o  (f  o  rotate-by(n;1))))
7.  \mforall{}f:\{x:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  (rotate-by(n;n  -  1)  o  (x  o  rotate-by(n;1)))  =  x\}  .  (f  =  rotate-by(n;f  0))
8.  \mforall{}f:\{x:cyclic-map(\mBbbN{}n)|  (rotate-by(n;n  -  1)  o  (x  o  rotate-by(n;1)))  =  x\}  .  (\mneg{}((f  0)  =  0))
\mvdash{}  \{x:cyclic-map(\mBbbN{}n)|  (rotate-by(n;n  -  1)  o  (x  o  rotate-by(n;1)))  =  x\}    \msim{}  \mBbbN{}n  -  1


By

---

Latex:
With  \mkleeneopen{}\mlambda{}f.((f  0)  -  1)\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}

---

Home Index