---

Step * 2 1 1 of Lemma add-polynom-val


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (add-polynom(p;q)@l = (p@l + q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. True
6. left : tree(ℤ)
7. q2 : tree(ℤ)
8. ↑(ispolyform(left) (n - 1))
9. ↑(ispolyform(q2) n)
10. 0 < n
11. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
12. u : ℤ
13. v : ℤ List
14. n ≤ (||v|| + 1)
15. tree_leaf(p1) ∈ polyform(n)
16. tree_node(left;q2) ∈ polyform(n)
17. left ∈ polyform(n - 1)
18. ∀[l:{l:ℤ List| (n - 1) ≤ ||l||} ]. (add-polynom(tree_leaf(p1);left)@l = (tree_leaf(p1)@l + left@l) ∈ ℤ)
19. add-polynom(tree_leaf(p1);left)@v = (tree_leaf(p1)@v + left@v) ∈ ℤ
⊢ eval av = tree_leaf(p1)@v + left@v in
  eval bv = q2@[u / v] in
    if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
= (p1 + eval av = left@v in eval bv = q2@[u / v] in   if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv))
∈ ℤ
BY
{ ((Fold `polyconst` 0 THEN Reduce 0)
   THEN (Assert left ∈ polyform(n - 1) BY
               Auto)
   THEN (Assert q2 ∈ polyform(n) BY
               Auto)
   THEN RepeatFor 3 ((CallByValueReduce 0 THENA Auto))
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (add-polynom(p;q)@l  =  (p@l  +  q@l))))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  p1  :  \mBbbZ{}
5.  True
6.  left  :  tree(\mBbbZ{})
7.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
8.  \muparrow{}(ispolyform(left)  (n  -  1))
9.  \muparrow{}(ispolyform(q2)  n)
10.  0  <  n
11.  (0  +  (1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
12.  u  :  \mBbbZ{}
13.  v  :  \mBbbZ{}  List
14.  n  \mleq{}  (||v||  +  1)
15.  tree\_leaf(p1)  \mmember{}  polyform(n)
16.  tree\_node(left;q2)  \mmember{}  polyform(n)
17.  left  \mmember{}  polyform(n  -  1)
18.  \mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  (n  -  1)  \mleq{}  ||l||\}  ]
            (add-polynom(tree\_leaf(p1);left)@l  =  (tree\_leaf(p1)@l  +  left@l))
19.  add-polynom(tree\_leaf(p1);left)@v  =  (tree\_leaf(p1)@v  +  left@v)
\mvdash{}  eval  av  =  tree\_leaf(p1)@v  +  left@v  in
    eval  bv  =  q2@[u  /  v]  in
        if  bv=0  then  av  else  eval  h  =  u  in  av  +  (h  *  bv)
=  (p1
    +  eval  av  =  left@v  in
        eval  bv  =  q2@[u  /  v]  in
            if  bv=0  then  av  else  eval  h  =  u  in  av  +  (h  *  bv))


By

---

Latex:
((Fold  `polyconst`  0  THEN  Reduce  0)
  THEN  (Assert  left  \mmember{}  polyform(n  -  1)  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  q2  \mmember{}  polyform(n)  BY
                          Auto)
  THEN  RepeatFor  3  ((CallByValueReduce  0  THENA  Auto))
  THEN  Auto)

---

Home Index