---

Step * 4 1 1 1 1 of Lemma add-polynom-val


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (add-polynom(p;q)@l = (p@l + q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ↑(ispolyform(left) (n - 1))
7. ↑(ispolyform(p2) n)
8. 0 < n
9. l1 : tree(ℤ)
10. q2 : tree(ℤ)
11. ↑(ispolyform(l1) (n - 1))
12. ↑(ispolyform(q2) n)
13. 0 < n
14. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
15. u : ℤ
16. v : ℤ List
17. n ≤ (||v|| + 1)
18. tree_node(left;p2) ∈ polyform(n)
19. tree_node(l1;q2) ∈ polyform(n)
20. left ∈ polyform(n - 1)
21. p2 ∈ polyform(n)
22. q2 ∈ polyform(n)
23. l1 ∈ polyform(n - 1)
24. ∀[l:{l:ℤ List| (n - 1) ≤ ||l||} ]. (add-polynom(left;l1)@l = (left@l + l1@l) ∈ ℤ)
25. ∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (add-polynom(p2;q2)@l = (p2@l + q2@l) ∈ ℤ)
26. add-polynom(left;l1)@v = (left@v + l1@v) ∈ ℤ
27. add-polynom(p2;q2)@[u / v] = (p2@[u / v] + q2@[u / v]) ∈ ℤ
⊢ eval av = left@v + l1@v in
  eval bv = p2@[u / v] + q2@[u / v] in
    if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
= (eval av = left@v in
   eval bv = p2@[u / v] in
     if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
  + eval av = l1@v in
    eval bv = q2@[u / v] in
      if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv))
∈ ℤ
BY
{ (GenConclTerms Auto [⌜p2@[u / v]⌝;⌜q2@[u / v]⌝;⌜left@v⌝;⌜l1@v⌝]⋅ THEN All Thin) }

1
1. u : ℤ
2. v1 : ℤ
3. v2 : ℤ
4. v3 : ℤ
5. v4 : ℤ
⊢ eval av = v3 + v4 in
  eval bv = v1 + v2 in
    if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
= (eval av = v3 in
   eval bv = v1 in
     if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
  + eval av = v4 in
    eval bv = v2 in
      if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (add-polynom(p;q)@l  =  (p@l  +  q@l))))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  left  :  tree(\mBbbZ{})
5.  p2  :  tree(\mBbbZ{})
6.  \muparrow{}(ispolyform(left)  (n  -  1))
7.  \muparrow{}(ispolyform(p2)  n)
8.  0  <  n
9.  l1  :  tree(\mBbbZ{})
10.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
11.  \muparrow{}(ispolyform(l1)  (n  -  1))
12.  \muparrow{}(ispolyform(q2)  n)
13.  0  <  n
14.  (((1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(p2))  +  (1  +  tree\_size(l1))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
15.  u  :  \mBbbZ{}
16.  v  :  \mBbbZ{}  List
17.  n  \mleq{}  (||v||  +  1)
18.  tree\_node(left;p2)  \mmember{}  polyform(n)
19.  tree\_node(l1;q2)  \mmember{}  polyform(n)
20.  left  \mmember{}  polyform(n  -  1)
21.  p2  \mmember{}  polyform(n)
22.  q2  \mmember{}  polyform(n)
23.  l1  \mmember{}  polyform(n  -  1)
24.  \mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  (n  -  1)  \mleq{}  ||l||\}  ].  (add-polynom(left;l1)@l  =  (left@l  +  l1@l))
25.  \mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (add-polynom(p2;q2)@l  =  (p2@l  +  q2@l))
26.  add-polynom(left;l1)@v  =  (left@v  +  l1@v)
27.  add-polynom(p2;q2)@[u  /  v]  =  (p2@[u  /  v]  +  q2@[u  /  v])
\mvdash{}  eval  av  =  left@v  +  l1@v  in
    eval  bv  =  p2@[u  /  v]  +  q2@[u  /  v]  in
        if  bv=0  then  av  else  eval  h  =  u  in  av  +  (h  *  bv)
=  (eval  av  =  left@v  in
      eval  bv  =  p2@[u  /  v]  in
          if  bv=0  then  av  else  eval  h  =  u  in  av  +  (h  *  bv)
    +  eval  av  =  l1@v  in
        eval  bv  =  q2@[u  /  v]  in
            if  bv=0  then  av  else  eval  h  =  u  in  av  +  (h  *  bv))


By

---

Latex:
(GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}p2@[u  /  v]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q2@[u  /  v]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}left@v\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}l1@v\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  All  Thin)

---

Home Index