---

Step * 2 of Lemma mul-polynom-val


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. True
6. left : tree(ℤ)
7. q2 : tree(ℤ)
8. ↑(((ispolyform(left) (n - 1)) ∧b (ispolyform(q2) n)) ∧b 0 <z n)
9. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
10. l : {l:ℤ List| n ≤ ||l||} 
⊢ if p1=0
  then polyconst(0)
  else if p1=1
       then tree_node(left;q2)
       else eval a = mul-polynom(tree_leaf(p1);left) in
            eval b = mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) in
              tree_node(a;b)@l
= (tree_leaf(p1)@l * tree_node(left;q2)@l)
∈ ℤ
BY
{ ((RW assert_pushdownC (-3) THENA Auto)
   THEN (Assert mul-polynom(tree_leaf(p1);left) ∈ polyform(n - 1) BY
               Auto)
   THEN (Assert mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) ∈ polyform(n) BY
               Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((CallByValueReduce 0 THENA Auto))
   THEN RepeatFor 2 (DVar `l')
   THEN All Reduce
   THEN Try ((Assert ⌜False⌝⋅ THEN Complete (Auto)))) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. True
6. left : tree(ℤ)
7. q2 : tree(ℤ)
8. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
9. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
10. u : ℤ
11. v : ℤ List
12. n ≤ (||v|| + 1)
13. mul-polynom(tree_leaf(p1);left) ∈ polyform(n - 1)
14. mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) ∈ polyform(n)
⊢ if p1=0
  then polyconst(0)
  else if p1=1 then tree_node(left;q2) else tree_node(mul-polynom(tree_leaf(p1);left);mul-polynom(tree_leaf(p1);q2))@...
= (tree_leaf(p1)@[u / v] * tree_node(left;q2)@[u / v])
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (mul-polynom(p;q)@l  =  (p@l  *  q@l))))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  p1  :  \mBbbZ{}
5.  True
6.  left  :  tree(\mBbbZ{})
7.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
8.  \muparrow{}(((ispolyform(left)  (n  -  1))  \mwedge{}\msubb{}  (ispolyform(q2)  n))  \mwedge{}\msubb{}  0  <z  n)
9.  (0  +  (1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
10.  l  :  \{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\} 
\mvdash{}  if  p1=0
    then  polyconst(0)
    else  if  p1=1
              then  tree\_node(left;q2)
              else  eval  a  =  mul-polynom(tree\_leaf(p1);left)  in
                        eval  b  =  mul-polynom(tree\_leaf(p1);q2)  in
                            tree\_node(a;b)@l
=  (tree\_leaf(p1)@l  *  tree\_node(left;q2)@l)


By

---

Latex:
((RW  assert\_pushdownC  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  mul-polynom(tree\_leaf(p1);left)  \mmember{}  polyform(n  -  1)  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  mul-polynom(tree\_leaf(p1);q2)  \mmember{}  polyform(n)  BY
                          Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((CallByValueReduce  0  THENA  Auto))
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `l')
  THEN  All  Reduce
  THEN  Try  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto))))

---

Home Index