---

Step * 4 1 1 of Lemma mul-polynom-val


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(p2) n))) ∧ 0 < n
7. l1 : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ((↑(ispolyform(l1) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
10. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
11. u : ℤ
12. v : ℤ List
13. n ≤ (||v|| + 1)
14. left ∈ polyform(n - 1)
15. l1 ∈ polyform(n - 1)
16. p2 ∈ polyform(n)
17. q2 ∈ polyform(n)
18. aa : polyform(n - 1)
19. mul-polynom(left;l1) = aa ∈ polyform(n - 1)
20. tree_node(left;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
21. tree_size(tree_node(left;polyconst(0))) = (1 + tree_size(left)) ∈ ℤ
22. tree_node(l1;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
23. tree_size(tree_node(l1;polyconst(0))) = (1 + tree_size(l1)) ∈ ℤ
⊢ (aa@v = (left@v * l1@v) ∈ ℤ)
⇒ (eval aa = aa in
    eval ab = mul-polynom(tree_node(left;polyconst(0));q2) in
    eval ba = mul-polynom(p2;tree_node(l1;polyconst(0))) in
    eval bb = mul-polynom(p2;q2) in
    eval mid = add-polynom(ab;ba) in
    eval bb' = add-polynom(mid;tree_node(polyconst(0);bb)) in
      tree_node(aa;bb')@[u / v]
   = (tree_node(left;p2)@[u / v] * tree_node(l1;q2)@[u / v])
   ∈ ℤ)
BY
{ Assert ⌜∀p:polyform(n - 1). (tree_node(p;polyconst(0))@[u / v] = p@v ∈ ℤ)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(p2) n))) ∧ 0 < n
7. l1 : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ((↑(ispolyform(l1) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
10. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
11. u : ℤ
12. v : ℤ List
13. n ≤ (||v|| + 1)
14. left ∈ polyform(n - 1)
15. l1 ∈ polyform(n - 1)
16. p2 ∈ polyform(n)
17. q2 ∈ polyform(n)
18. aa : polyform(n - 1)
19. mul-polynom(left;l1) = aa ∈ polyform(n - 1)
20. tree_node(left;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
21. tree_size(tree_node(left;polyconst(0))) = (1 + tree_size(left)) ∈ ℤ
22. tree_node(l1;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
23. tree_size(tree_node(l1;polyconst(0))) = (1 + tree_size(l1)) ∈ ℤ
⊢ ∀p:polyform(n - 1). (tree_node(p;polyconst(0))@[u / v] = p@v ∈ ℤ)

2
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(p2) n))) ∧ 0 < n
7. l1 : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ((↑(ispolyform(l1) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
10. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
11. u : ℤ
12. v : ℤ List
13. n ≤ (||v|| + 1)
14. left ∈ polyform(n - 1)
15. l1 ∈ polyform(n - 1)
16. p2 ∈ polyform(n)
17. q2 ∈ polyform(n)
18. aa : polyform(n - 1)
19. mul-polynom(left;l1) = aa ∈ polyform(n - 1)
20. tree_node(left;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
21. tree_size(tree_node(left;polyconst(0))) = (1 + tree_size(left)) ∈ ℤ
22. tree_node(l1;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
23. tree_size(tree_node(l1;polyconst(0))) = (1 + tree_size(l1)) ∈ ℤ
24. ∀p:polyform(n - 1). (tree_node(p;polyconst(0))@[u / v] = p@v ∈ ℤ)
⊢ (aa@v = (left@v * l1@v) ∈ ℤ)
⇒ (eval aa = aa in
    eval ab = mul-polynom(tree_node(left;polyconst(0));q2) in
    eval ba = mul-polynom(p2;tree_node(l1;polyconst(0))) in
    eval bb = mul-polynom(p2;q2) in
    eval mid = add-polynom(ab;ba) in
    eval bb' = add-polynom(mid;tree_node(polyconst(0);bb)) in
      tree_node(aa;bb')@[u / v]
   = (tree_node(left;p2)@[u / v] * tree_node(l1;q2)@[u / v])
   ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (mul-polynom(p;q)@l  =  (p@l  *  q@l))))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  left  :  tree(\mBbbZ{})
5.  p2  :  tree(\mBbbZ{})
6.  ((\muparrow{}(ispolyform(left)  (n  -  1)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(ispolyform(p2)  n)))  \mwedge{}  0  <  n
7.  l1  :  tree(\mBbbZ{})
8.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
9.  ((\muparrow{}(ispolyform(l1)  (n  -  1)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(ispolyform(q2)  n)))  \mwedge{}  0  <  n
10.  (((1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(p2))  +  (1  +  tree\_size(l1))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
11.  u  :  \mBbbZ{}
12.  v  :  \mBbbZ{}  List
13.  n  \mleq{}  (||v||  +  1)
14.  left  \mmember{}  polyform(n  -  1)
15.  l1  \mmember{}  polyform(n  -  1)
16.  p2  \mmember{}  polyform(n)
17.  q2  \mmember{}  polyform(n)
18.  aa  :  polyform(n  -  1)
19.  mul-polynom(left;l1)  =  aa
20.  tree\_node(left;polyconst(0))  \mmember{}  polyform(n)
21.  tree\_size(tree\_node(left;polyconst(0)))  =  (1  +  tree\_size(left))
22.  tree\_node(l1;polyconst(0))  \mmember{}  polyform(n)
23.  tree\_size(tree\_node(l1;polyconst(0)))  =  (1  +  tree\_size(l1))
\mvdash{}  (aa@v  =  (left@v  *  l1@v))
{}\mRightarrow{}  (eval  aa  =  aa  in
        eval  ab  =  mul-polynom(tree\_node(left;polyconst(0));q2)  in
        eval  ba  =  mul-polynom(p2;tree\_node(l1;polyconst(0)))  in
        eval  bb  =  mul-polynom(p2;q2)  in
        eval  mid  =  add-polynom(ab;ba)  in
        eval  bb'  =  add-polynom(mid;tree\_node(polyconst(0);bb))  in
            tree\_node(aa;bb')@[u  /  v]
      =  (tree\_node(left;p2)@[u  /  v]  *  tree\_node(l1;q2)@[u  /  v]))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}p:polyform(n  -  1).  (tree\_node(p;polyconst(0))@[u  /  v]  =  p@v)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index