---

Step * 2 of Lemma append_split


1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[P:T ⟶ ℙ]
     ((∀x:ℕ||v||. Dec(P v[x]))
     ⇒ (∀i,j:ℕ||v||.  ((P v[i]) ⇒ P v[j] supposing i < j))
     ⇒ (∃L1,L2:T List
          (((v = (L1 @ L2) ∈ (T List)) ∧ (∀i:ℕ||L1||. (¬(P L1[i]))) ∧ (∀i:ℕ||L2||. (P L2[i])))
          ∧ (∀x∈v.(P x) ⇒ (x ∈ L2)))))
⊢ ∀[P:T ⟶ ℙ]
    ((∀x:ℕ||v|| + 1. Dec(P [u / v][x]))
    ⇒ (∀i,j:ℕ||v|| + 1.  ((P [u / v][i]) ⇒ P [u / v][j] supposing i < j))
    ⇒ (∃L1,L2:T List
         ((([u / v] = (L1 @ L2) ∈ (T List)) ∧ (∀i:ℕ||L1||. (¬(P L1[i]))) ∧ (∀i:ℕ||L2||. (P L2[i])))
         ∧ (∀x∈[u / v].(P x) ⇒ (x ∈ L2)))))
BY
{ (RepeatFor 2 ((ParallelOp (-1))))⋅ }

1
.....antecedent..... 
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[P:T ⟶ ℙ]
     ((∀x:ℕ||v||. Dec(P v[x]))
     ⇒ (∀i,j:ℕ||v||.  ((P v[i]) ⇒ P v[j] supposing i < j))
     ⇒ (∃L1,L2:T List
          (((v = (L1 @ L2) ∈ (T List)) ∧ (∀i:ℕ||L1||. (¬(P L1[i]))) ∧ (∀i:ℕ||L2||. (P L2[i])))
          ∧ (∀x∈v.(P x) ⇒ (x ∈ L2)))))
5. [P] : T ⟶ ℙ
6. ∀x:ℕ||v|| + 1. Dec(P [u / v][x])
⊢ ∀x:ℕ||v||. Dec(P v[x])

2
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[P:T ⟶ ℙ]
     ((∀x:ℕ||v||. Dec(P v[x]))
     ⇒ (∀i,j:ℕ||v||.  ((P v[i]) ⇒ P v[j] supposing i < j))
     ⇒ (∃L1,L2:T List
          (((v = (L1 @ L2) ∈ (T List)) ∧ (∀i:ℕ||L1||. (¬(P L1[i]))) ∧ (∀i:ℕ||L2||. (P L2[i])))
          ∧ (∀x∈v.(P x) ⇒ (x ∈ L2)))))
5. [P] : T ⟶ ℙ
6. ∀x:ℕ||v|| + 1. Dec(P [u / v][x])
7. (∀i,j:ℕ||v||.  ((P v[i]) ⇒ P v[j] supposing i < j))
⇒ (∃L1,L2:T List
     (((v = (L1 @ L2) ∈ (T List)) ∧ (∀i:ℕ||L1||. (¬(P L1[i]))) ∧ (∀i:ℕ||L2||. (P L2[i]))) ∧ (∀x∈v.(P x) ⇒ (x ∈ L2))))
⊢ (∀i,j:ℕ||v|| + 1.  ((P [u / v][i]) ⇒ P [u / v][j] supposing i < j))
⇒ (∃L1,L2:T List
     ((([u / v] = (L1 @ L2) ∈ (T List)) ∧ (∀i:ℕ||L1||. (¬(P L1[i]))) ∧ (∀i:ℕ||L2||. (P L2[i])))
     ∧ (∀x∈[u / v].(P x) ⇒ (x ∈ L2))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  u  :  T
3.  v  :  T  List
4.  \mforall{}[P:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
          ((\mforall{}x:\mBbbN{}||v||.  Dec(P  v[x]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i,j:\mBbbN{}||v||.    ((P  v[i])  {}\mRightarrow{}  P  v[j]  supposing  i  <  j))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}L1,L2:T  List
                    (((v  =  (L1  @  L2))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L1||.  (\mneg{}(P  L1[i])))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L2||.  (P  L2[i])))
                    \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}v.(P  x)  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L2)))))
\mvdash{}  \mforall{}[P:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
        ((\mforall{}x:\mBbbN{}||v||  +  1.  Dec(P  [u  /  v][x]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i,j:\mBbbN{}||v||  +  1.    ((P  [u  /  v][i])  {}\mRightarrow{}  P  [u  /  v][j]  supposing  i  <  j))
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}L1,L2:T  List
                  ((([u  /  v]  =  (L1  @  L2))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L1||.  (\mneg{}(P  L1[i])))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L2||.  (P  L2[i])))
                  \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}[u  /  v].(P  x)  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L2)))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  ((ParallelOp  (-1))))\mcdot{}

---

Home Index