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of Lemma
cons_interleaving
1. [T] : Type
2. x : T
3. L : T List
4. L1 : T List
5. L2 : T List
6. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
7. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
8. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
9. increasing(f1;||L1||)
10. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
11. increasing(f2;||L2||)
12. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
13. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||. (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
14. (||L|| + 1) = ((||L1|| + 1) + ||L2||) ∈ ℕ
15. fadd(f2;λi.1) ∈ ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L|| + 1
16. fshift(fadd(f1;λi.1);0) ∈ ℕ||L1|| + 1 ⟶ ℕ||L|| + 1
⊢ (increasing(fshift(fadd(f1;λi.1);0);||L1|| + 1)
∧ (∀j:ℕ||L1|| + 1. ([x / L1][j] = [x / L][fshift(fadd(f1;λi.1);0) j] ∈ T)))
∧ (increasing(fadd(f2;λi.1);||L2||) ∧ (∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = [x / L][fadd(f2;λi.1) j] ∈ T)))
∧ (∀j1:ℕ||L1|| + 1. ∀j2:ℕ||L2||. (¬((fshift(fadd(f1;λi.1);0) j1) = (fadd(f2;λi.1) j2) ∈ ℤ)))
BY
{ TACTIC:Auto' }
1
1. [T] : Type
2. x : T
3. L : T List
4. L1 : T List
5. L2 : T List
6. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
7. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
8. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
9. increasing(f1;||L1||)
10. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
11. increasing(f2;||L2||)
12. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
13. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||. (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
14. (||L|| + 1) = ((||L1|| + 1) + ||L2||) ∈ ℕ
15. fadd(f2;λi.1) ∈ ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L|| + 1
16. fshift(fadd(f1;λi.1);0) ∈ ℕ||L1|| + 1 ⟶ ℕ||L|| + 1
⊢ increasing(fshift(fadd(f1;λi.1);0);||L1|| + 1)
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1. T : Type
2. x : T
3. L : T List
4. L1 : T List
5. L2 : T List
6. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
7. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
8. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
9. increasing(f1;||L1||)
10. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
11. increasing(f2;||L2||)
12. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
13. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||. (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
14. (||L|| + 1) = ((||L1|| + 1) + ||L2||) ∈ ℕ
15. fadd(f2;λi.1) ∈ ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L|| + 1
16. fshift(fadd(f1;λi.1);0) ∈ ℕ||L1|| + 1 ⟶ ℕ||L|| + 1
17. increasing(fshift(fadd(f1;λi.1);0);||L1|| + 1)
18. j : ℕ||L1|| + 1
⊢ [x / L1][j] = [x / L][fshift(fadd(f1;λi.1);0) j] ∈ T
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1. [T] : Type
2. x : T
3. L : T List
4. L1 : T List
5. L2 : T List
6. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
7. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
8. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
9. increasing(f1;||L1||)
10. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
11. increasing(f2;||L2||)
12. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
13. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||. (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
14. (||L|| + 1) = ((||L1|| + 1) + ||L2||) ∈ ℕ
15. fadd(f2;λi.1) ∈ ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L|| + 1
16. fshift(fadd(f1;λi.1);0) ∈ ℕ||L1|| + 1 ⟶ ℕ||L|| + 1
17. increasing(fshift(fadd(f1;λi.1);0);||L1|| + 1)
18. ∀j:ℕ||L1|| + 1. ([x / L1][j] = [x / L][fshift(fadd(f1;λi.1);0) j] ∈ T)
⊢ increasing(fadd(f2;λi.1);||L2||)
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1. T : Type
2. x : T
3. L : T List
4. L1 : T List
5. L2 : T List
6. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
7. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
8. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
9. increasing(f1;||L1||)
10. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
11. increasing(f2;||L2||)
12. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
13. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||. (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
14. (||L|| + 1) = ((||L1|| + 1) + ||L2||) ∈ ℕ
15. fadd(f2;λi.1) ∈ ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L|| + 1
16. fshift(fadd(f1;λi.1);0) ∈ ℕ||L1|| + 1 ⟶ ℕ||L|| + 1
17. increasing(fshift(fadd(f1;λi.1);0);||L1|| + 1)
18. ∀j:ℕ||L1|| + 1. ([x / L1][j] = [x / L][fshift(fadd(f1;λi.1);0) j] ∈ T)
19. increasing(fadd(f2;λi.1);||L2||)
20. j : ℕ||L2||
⊢ L2[j] = [x / L][fadd(f2;λi.1) j] ∈ T
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1. T : Type
2. x : T
3. L : T List
4. L1 : T List
5. L2 : T List
6. ||L|| = (||L1|| + ||L2||) ∈ ℕ
7. f1 : ℕ||L1|| ⟶ ℕ||L||
8. f2 : ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L||
9. increasing(f1;||L1||)
10. ∀j:ℕ||L1||. (L1[j] = L[f1 j] ∈ T)
11. increasing(f2;||L2||)
12. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = L[f2 j] ∈ T)
13. ∀j1:ℕ||L1||. ∀j2:ℕ||L2||. (¬((f1 j1) = (f2 j2) ∈ ℤ))
14. (||L|| + 1) = ((||L1|| + 1) + ||L2||) ∈ ℕ
15. fadd(f2;λi.1) ∈ ℕ||L2|| ⟶ ℕ||L|| + 1
16. fshift(fadd(f1;λi.1);0) ∈ ℕ||L1|| + 1 ⟶ ℕ||L|| + 1
17. increasing(fshift(fadd(f1;λi.1);0);||L1|| + 1)
18. ∀j:ℕ||L1|| + 1. ([x / L1][j] = [x / L][fshift(fadd(f1;λi.1);0) j] ∈ T)
19. increasing(fadd(f2;λi.1);||L2||)
20. ∀j:ℕ||L2||. (L2[j] = [x / L][fadd(f2;λi.1) j] ∈ T)
21. j1 : ℕ||L1|| + 1
22. j2 : ℕ||L2||
⊢ ¬((fshift(fadd(f1;λi.1);0) j1) = (fadd(f2;λi.1) j2) ∈ ℤ)
Latex:
Latex:
1. [T] : Type
2. x : T
3. L : T List
4. L1 : T List
5. L2 : T List
6. ||L|| = (||L1|| + ||L2||)
7. f1 : \mBbbN{}||L1|| {}\mrightarrow{} \mBbbN{}||L||
8. f2 : \mBbbN{}||L2|| {}\mrightarrow{} \mBbbN{}||L||
9. increasing(f1;||L1||)
10. \mforall{}j:\mBbbN{}||L1||. (L1[j] = L[f1 j])
11. increasing(f2;||L2||)
12. \mforall{}j:\mBbbN{}||L2||. (L2[j] = L[f2 j])
13. \mforall{}j1:\mBbbN{}||L1||. \mforall{}j2:\mBbbN{}||L2||. (\mneg{}((f1 j1) = (f2 j2)))
14. (||L|| + 1) = ((||L1|| + 1) + ||L2||)
15. fadd(f2;\mlambda{}i.1) \mmember{} \mBbbN{}||L2|| {}\mrightarrow{} \mBbbN{}||L|| + 1
16. fshift(fadd(f1;\mlambda{}i.1);0) \mmember{} \mBbbN{}||L1|| + 1 {}\mrightarrow{} \mBbbN{}||L|| + 1
\mvdash{} (increasing(fshift(fadd(f1;\mlambda{}i.1);0);||L1|| + 1)
\mwedge{} (\mforall{}j:\mBbbN{}||L1|| + 1. ([x / L1][j] = [x / L][fshift(fadd(f1;\mlambda{}i.1);0) j])))
\mwedge{} (increasing(fadd(f2;\mlambda{}i.1);||L2||) \mwedge{} (\mforall{}j:\mBbbN{}||L2||. (L2[j] = [x / L][fadd(f2;\mlambda{}i.1) j])))
\mwedge{} (\mforall{}j1:\mBbbN{}||L1|| + 1. \mforall{}j2:\mBbbN{}||L2||. (\mneg{}((fshift(fadd(f1;\mlambda{}i.1);0) j1) = (fadd(f2;\mlambda{}i.1) j2))))
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Latex:
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