---

Step * 1 2 1 of Lemma first_index_equal


1. T : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[L2:T List]. ∀[P,Q:T ⟶ 𝔹].
     index-of-first a in v.P[a] ∧b Q[a] = index-of-first a in L2.P[a] ∧b Q[a] ∈ ℤ supposing v agree_on(T;a.↑P[a]) L2
5. u1 : T
6. v1 : T List
7. ∀[P,Q:T ⟶ 𝔹].
     index-of-first a in [u / v].P[a] ∧b Q[a] = index-of-first a in v1.P[a] ∧b Q[a] ∈ ℤ 
     supposing [u / v] agree_on(T;a.↑P[a]) v1
8. P : T ⟶ 𝔹
9. Q : T ⟶ 𝔹
10. (||v|| + 1) = (||v1|| + 1) ∈ ℤ
11. ∀i:ℕ||v|| + 1. (((↑P[[u / v][i]]) ∨ (↑P[[u1 / v1][i]])) ⇒ ([u / v][i] = [u1 / v1][i] ∈ T))
12. n : ℤ
13. index-of-first a in v1.P[a] ∧b Q[a] = n ∈ ℤ
⊢ if P[u] ∧b Q[u] then 1 if 0 <z n then n + 1 else 0 fi  = if P[u1] ∧b Q[u1] then 1 if 0 <z n then n + 1 else 0 fi  ∈ ℤ
BY
{ TACTIC:(Decide (↑P[u]) ∨ (↑P[u1]) THENA Auto) }

1
1. T : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[L2:T List]. ∀[P,Q:T ⟶ 𝔹].
     index-of-first a in v.P[a] ∧b Q[a] = index-of-first a in L2.P[a] ∧b Q[a] ∈ ℤ supposing v agree_on(T;a.↑P[a]) L2
5. u1 : T
6. v1 : T List
7. ∀[P,Q:T ⟶ 𝔹].
     index-of-first a in [u / v].P[a] ∧b Q[a] = index-of-first a in v1.P[a] ∧b Q[a] ∈ ℤ 
     supposing [u / v] agree_on(T;a.↑P[a]) v1
8. P : T ⟶ 𝔹
9. Q : T ⟶ 𝔹
10. (||v|| + 1) = (||v1|| + 1) ∈ ℤ
11. ∀i:ℕ||v|| + 1. (((↑P[[u / v][i]]) ∨ (↑P[[u1 / v1][i]])) ⇒ ([u / v][i] = [u1 / v1][i] ∈ T))
12. n : ℤ
13. index-of-first a in v1.P[a] ∧b Q[a] = n ∈ ℤ
14. (↑P[u]) ∨ (↑P[u1])
⊢ if P[u] ∧b Q[u] then 1 if 0 <z n then n + 1 else 0 fi  = if P[u1] ∧b Q[u1] then 1 if 0 <z n then n + 1 else 0 fi  ∈ ℤ

2
1. T : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀[L2:T List]. ∀[P,Q:T ⟶ 𝔹].
     index-of-first a in v.P[a] ∧b Q[a] = index-of-first a in L2.P[a] ∧b Q[a] ∈ ℤ supposing v agree_on(T;a.↑P[a]) L2
5. u1 : T
6. v1 : T List
7. ∀[P,Q:T ⟶ 𝔹].
     index-of-first a in [u / v].P[a] ∧b Q[a] = index-of-first a in v1.P[a] ∧b Q[a] ∈ ℤ 
     supposing [u / v] agree_on(T;a.↑P[a]) v1
8. P : T ⟶ 𝔹
9. Q : T ⟶ 𝔹
10. (||v|| + 1) = (||v1|| + 1) ∈ ℤ
11. ∀i:ℕ||v|| + 1. (((↑P[[u / v][i]]) ∨ (↑P[[u1 / v1][i]])) ⇒ ([u / v][i] = [u1 / v1][i] ∈ T))
12. n : ℤ
13. index-of-first a in v1.P[a] ∧b Q[a] = n ∈ ℤ
14. ¬((↑P[u]) ∨ (↑P[u1]))
⊢ if P[u] ∧b Q[u] then 1 if 0 <z n then n + 1 else 0 fi  = if P[u1] ∧b Q[u1] then 1 if 0 <z n then n + 1 else 0 fi  ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  u  :  T
3.  v  :  T  List
4.  \mforall{}[L2:T  List].  \mforall{}[P,Q:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].
          index-of-first  a  in  v.P[a]  \mwedge{}\msubb{}  Q[a]  =  index-of-first  a  in  L2.P[a]  \mwedge{}\msubb{}  Q[a] 
          supposing  v  agree\_on(T;a.\muparrow{}P[a])  L2
5.  u1  :  T
6.  v1  :  T  List
7.  \mforall{}[P,Q:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].
          index-of-first  a  in  [u  /  v].P[a]  \mwedge{}\msubb{}  Q[a]  =  index-of-first  a  in  v1.P[a]  \mwedge{}\msubb{}  Q[a] 
          supposing  [u  /  v]  agree\_on(T;a.\muparrow{}P[a])  v1
8.  P  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
9.  Q  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
10.  (||v||  +  1)  =  (||v1||  +  1)
11.  \mforall{}i:\mBbbN{}||v||  +  1.  (((\muparrow{}P[[u  /  v][i]])  \mvee{}  (\muparrow{}P[[u1  /  v1][i]]))  {}\mRightarrow{}  ([u  /  v][i]  =  [u1  /  v1][i]))
12.  n  :  \mBbbZ{}
13.  index-of-first  a  in  v1.P[a]  \mwedge{}\msubb{}  Q[a]  =  n
\mvdash{}  if  P[u]  \mwedge{}\msubb{}  Q[u]  then  1
if  0  <z  n  then  n  +  1
else  0
fi 
=  if  P[u1]  \mwedge{}\msubb{}  Q[u1]  then  1
    if  0  <z  n  then  n  +  1
    else  0
    fi 


By

---

Latex:
TACTIC:(Decide  (\muparrow{}P[u])  \mvee{}  (\muparrow{}P[u1])  THENA  Auto)

---

Home Index