---

Step * 1 1 2 of Lemma det-transpose


1. r : CRng
2. n : ℕ
3. M : Matrix(n;n;r)
4. |M|
= Σ{r} f ∈ permutations-list(n). let k = Π(r) 0 
                                              ≤ i 
                                              < n
                                          M[i,inv(f) i] in
                                     if permutation-sign(n;inv(f))=1 then k else (-r k)
∈ |r|
5. f : ℕn →⟶ ℕn
⊢ let k = Π(r) 0 
               ≤ i 
               < n
           M[i,inv(f) i] in
      if permutation-sign(n;f)=1 then k else (-r k)
= let k = Π(r) 0 
               ≤ i 
               < n
           M'[i,f i] in
      if permutation-sign(n;f)=1 then k else (-r k)
∈ |r|
BY
{ Assert ⌜(Π(r) 0 ≤ i < n. M[i,inv(f) i]) = (Π(r) 0 ≤ i < n. M'[i,f i]) ∈ |r|⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. M : Matrix(n;n;r)
4. |M|
= Σ{r} f ∈ permutations-list(n). let k = Π(r) 0 
                                              ≤ i 
                                              < n
                                          M[i,inv(f) i] in
                                     if permutation-sign(n;inv(f))=1 then k else (-r k)
∈ |r|
5. f : ℕn →⟶ ℕn
⊢ (Π(r) 0 ≤ i < n. M[i,inv(f) i]) = (Π(r) 0 ≤ i < n. M'[i,f i]) ∈ |r|

2
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. M : Matrix(n;n;r)
4. |M|
= Σ{r} f ∈ permutations-list(n). let k = Π(r) 0 
                                              ≤ i 
                                              < n
                                          M[i,inv(f) i] in
                                     if permutation-sign(n;inv(f))=1 then k else (-r k)
∈ |r|
5. f : ℕn →⟶ ℕn
6. (Π(r) 0 ≤ i < n. M[i,inv(f) i]) = (Π(r) 0 ≤ i < n. M'[i,f i]) ∈ |r|
⊢ let k = Π(r) 0 
               ≤ i 
               < n
           M[i,inv(f) i] in
      if permutation-sign(n;f)=1 then k else (-r k)
= let k = Π(r) 0 
               ≤ i 
               < n
           M'[i,f i] in
      if permutation-sign(n;f)=1 then k else (-r k)
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  M  :  Matrix(n;n;r)
4.  |M|
=  \mSigma{}\{r\}  f  \mmember{}  permutations-list(n).  let  k  =  \mPi{}(r)  0 
                                                                                            \mleq{}  i 
                                                                                            <  n
                                                                                    M[i,inv(f)  i]  in
                                                                          if  permutation-sign(n;inv(f))=1  then  k  else  (-r  k)
5.  f  :  \mBbbN{}n  \mrightarrow{}{}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
\mvdash{}  let  k  =  \mPi{}(r)  0 
                              \mleq{}  i 
                              <  n
                      M[i,inv(f)  i]  in
            if  permutation-sign(n;f)=1  then  k  else  (-r  k)
=  let  k  =  \mPi{}(r)  0 
                              \mleq{}  i 
                              <  n
                      M'[i,f  i]  in
            if  permutation-sign(n;f)=1  then  k  else  (-r  k)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(\mPi{}(r)  0  \mleq{}  i  <  n.  M[i,inv(f)  i])  =  (\mPi{}(r)  0  \mleq{}  i  <  n.  M'[i,f  i])\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index