---

Step * 1 2 of Lemma FOL-proveable-evidence


1. hyps : mFOL() List
2. concl : mFOL()
3. subgoals : mFOL-sequent() List
4. subproofs : ℕ||subgoals|| ⟶ proof-tree(mFOL-sequent();FOLRule();λsr.FOLeffect(sr))
5. ∀b:ℕ||subgoals||. ∀s:mFOL-sequent().
     (correct_proof(mFOL-sequent();λsr.FOLeffect(sr);s;subproofs b) ⇒ FOL-sequent-evidence{i:l}(s))
6. ∀i:ℕ||subgoals||. correct_proof(mFOL-sequent();λsr.FOLeffect(sr);subgoals[i];subproofs i)
7. ↑mFOconnect?(concl)
8. mFOconnect-knd(concl) = "imp" ∈ Atom
9. [<[mFOconnect-left(concl) / hyps], mFOconnect-right(concl)>] = subgoals ∈ (mFOL-sequent() List)
10. FOL-sequent-evidence{i:l}(<[mFOconnect-left(concl) / hyps], mFOconnect-right(concl)>)
⊢ FOL-sequent-evidence{i:l}(<hyps, concl>)
BY
{ ((Subst ⌜concl = mFOconnect-left(concl) ⇒ mFOconnect-right(concl) ∈ mFOL()⌝ 0⋅
    THENA (Auto THEN MoveToConcl 2 THEN BLemmaUp `mFOL-induction`⋅ THEN Reduce 0 THEN Auto)
    )
   THEN D 0
   THEN Auto
   THEN (Assert Dom,S,a +|= FOL-sequent-abstract(<[mFOconnect-left(concl) / hyps], mFOconnect-right(concl)>) BY
               (Auto THEN All (RepUR ``FOL-sequent-evidence FO-uniform-evidence``) THEN BackThruSomeHyp))
   THEN Thin (-5)
   THEN RenameVar `g' (-1)
   THEN (All (RepUR ``FOL-sequent-abstract FOSatWith+``)
         THEN RepUR ``FOL-abstract`` 0
         THEN Fold `FOL-abstract` 0
         THEN RepUR ``FOConnective+ FOSatWith+ let`` 0
         THEN All (Fold `FOSatWith+`))⋅)⋅ }

1
1. hyps : mFOL() List
2. concl : mFOL()
3. subgoals : mFOL-sequent() List
4. subproofs : ℕ||subgoals|| ⟶ proof-tree(mFOL-sequent();FOLRule();λsr.FOLeffect(sr))
5. ∀b:ℕ||subgoals||. ∀s:mFOL-sequent().
     (correct_proof(mFOL-sequent();λsr.FOLeffect(sr);s;subproofs b) ⇒ FOL-sequent-evidence{i:l}(s))
6. ∀i:ℕ||subgoals||. correct_proof(mFOL-sequent();λsr.FOLeffect(sr);subgoals[i];subproofs i)
7. ↑mFOconnect?(concl)
8. mFOconnect-knd(concl) = "imp" ∈ Atom
9. [<[mFOconnect-left(concl) / hyps], mFOconnect-right(concl)>] = subgoals ∈ (mFOL-sequent() List)
10. [Dom] : Type
11. [S] : FOStruct+{i:l}(Dom)
12. a : FOAssignment(mFOL-sequent-freevars(<hyps, mFOconnect-left(concl) ⇒ mFOconnect-right(concl)>),Dom)
13. g : tuple-type(FOL-hyps-meaning(Dom;S;a;[mFOconnect-left(concl) / hyps]))
⟶ Dom,S,a +|= FOL-abstract(mFOconnect-right(concl))
⊢ tuple-type(FOL-hyps-meaning(Dom;S;a;hyps)) ⟶ ((Dom,S,a +|= FOL-abstract(mFOconnect-left(concl))
                                                ⇒ Dom,S,a +|= FOL-abstract(mFOconnect-right(concl))) ⋃ (S "false" []))

---

Latex:

---

Latex:

1.  hyps  :  mFOL()  List
2.  concl  :  mFOL()
3.  subgoals  :  mFOL-sequent()  List
4.  subproofs  :  \mBbbN{}||subgoals||  {}\mrightarrow{}  proof-tree(mFOL-sequent();FOLRule();\mlambda{}sr.FOLeffect(sr))
5.  \mforall{}b:\mBbbN{}||subgoals||.  \mforall{}s:mFOL-sequent().
          (correct\_proof(mFOL-sequent();\mlambda{}sr.FOLeffect(sr);s;subproofs  b)  {}\mRightarrow{}  FOL-sequent-evidence\{i:l\}(s))
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}||subgoals||.  correct\_proof(mFOL-sequent();\mlambda{}sr.FOLeffect(sr);subgoals[i];subproofs  i)
7.  \muparrow{}mFOconnect?(concl)
8.  mFOconnect-knd(concl)  =  "imp"
9.  [<[mFOconnect-left(concl)  /  hyps],  mFOconnect-right(concl)>]  =  subgoals
10.  FOL-sequent-evidence\{i:l\}(<[mFOconnect-left(concl)  /  hyps],  mFOconnect-right(concl)>)
\mvdash{}  FOL-sequent-evidence\{i:l\}(<hyps,  concl>)


By

---

Latex:
((Subst  \mkleeneopen{}concl  =  mFOconnect-left(concl)  {}\mRightarrow{}  mFOconnect-right(concl)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  MoveToConcl  2  THEN  BLemmaUp  `mFOL-induction`\mcdot{}  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)
    )
  THEN  D  0
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  Dom,S,a  +|=  FOL-sequent-abstract(<[mFOconnect-left(concl)  /  hyps]
                                                                                              ,  mFOconnect-right(concl)
                                                                                              >)  BY
                          (Auto
                            THEN  All  (RepUR  ``FOL-sequent-evidence  FO-uniform-evidence``)
                            THEN  BackThruSomeHyp))
  THEN  Thin  (-5)
  THEN  RenameVar  `g'  (-1)
  THEN  (All  (RepUR  ``FOL-sequent-abstract  FOSatWith+``)
              THEN  RepUR  ``FOL-abstract``  0
              THEN  Fold  `FOL-abstract`  0
              THEN  RepUR  ``FOConnective+  FOSatWith+  let``  0
              THEN  All  (Fold  `FOSatWith+`))\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index