---

Step * of Lemma mk_monad_wf

∀[M:Type ⟶ Type]. ∀[return:⋂T:Type. (T ⟶ (M T))]. ∀[bind:⋂T,S:Type.  ((M T) ⟶ (T ⟶ (M S)) ⟶ (M S))].
  (mk_monad(M;return;bind) ∈ Monad) supposing 
     ((∀[T,S,U:Type]. ∀[m:M T]. ∀[f:T ⟶ (M S)]. ∀[g:S ⟶ (M U)].
         ((bind (bind m f) g) = (bind m (λx.(bind (f x) g))) ∈ (M U))) and 
     (∀[T:Type]. ∀[m:M T].  ((bind m return) = m ∈ (M T))) and 
     (∀[T,S:Type]. ∀[x:T].  ∀f:T ⟶ (M S). ((bind (return x) f) = (f x) ∈ (M S))))
BY
{ (RepeatFor 5 (Intro) THEN D 0) }

1
1. M : Type ⟶ Type
2. return : ⋂T:Type. (T ⟶ (M T))
3. bind : ⋂T,S:Type.  ((M T) ⟶ (T ⟶ (M S)) ⟶ (M S))
4. ∀[T,S:Type]. ∀[x:T].  ∀f:T ⟶ (M S). ((bind (return x) f) = (f x) ∈ (M S))
5. ∀[T:Type]. ∀[m:M T].  ((bind m return) = m ∈ (M T))
6. ∀[T,S,U:Type]. ∀[m:M T]. ∀[f:T ⟶ (M S)]. ∀[g:S ⟶ (M U)].
     ((bind (bind m f) g) = (bind m (λx.(bind (f x) g))) ∈ (M U))
⊢ mk_monad(M;return;bind) ∈ Monad

2
.....wf..... 
1. M : Type ⟶ Type
2. return : ⋂T:Type. (T ⟶ (M T))
3. bind : ⋂T,S:Type.  ((M T) ⟶ (T ⟶ (M S)) ⟶ (M S))
4. ∀[T,S:Type]. ∀[x:T].  ∀f:T ⟶ (M S). ((bind (return x) f) = (f x) ∈ (M S))
5. ∀[T:Type]. ∀[m:M T].  ((bind m return) = m ∈ (M T))
⊢ istype(∀[T,S,U:Type]. ∀[m:M T]. ∀[f:T ⟶ (M S)]. ∀[g:S ⟶ (M U)].
           ((bind (bind m f) g) = (bind m (λx.(bind (f x) g))) ∈ (M U)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[M:Type  {}\mrightarrow{}  Type].  \mforall{}[return:\mcap{}T:Type.  (T  {}\mrightarrow{}  (M  T))].  \mforall{}[bind:\mcap{}T,S:Type.
                                                                                                                          ((M  T)  {}\mrightarrow{}  (T  {}\mrightarrow{}  (M  S))  {}\mrightarrow{}  (M  S))].
    (mk\_monad(M;return;bind)  \mmember{}  Monad)  supposing 
          ((\mforall{}[T,S,U:Type].  \mforall{}[m:M  T].  \mforall{}[f:T  {}\mrightarrow{}  (M  S)].  \mforall{}[g:S  {}\mrightarrow{}  (M  U)].
                  ((bind  (bind  m  f)  g)  =  (bind  m  (\mlambda{}x.(bind  (f  x)  g)))))  and 
          (\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[m:M  T].    ((bind  m  return)  =  m))  and 
          (\mforall{}[T,S:Type].  \mforall{}[x:T].    \mforall{}f:T  {}\mrightarrow{}  (M  S).  ((bind  (return  x)  f)  =  (f  x))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  5  (Intro)  THEN  D  0)

---

Home Index