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Step * 1 1 of Lemma fps-geometric-slice_lemma

.....equality..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. 0 = fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k)) ∈ PowerSeries(X;r)
⊢ fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
= (([(1-g)]_0*[(1÷(1-g))]_m - 0)+([(1-g)]_n*[(1÷(1-g))]_m - n))
∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ xxxAssert ⌜fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
             = fps-summation(r;[k∈upto(m + 1)|(k =z 0) ∨b(k =z n)];k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
             ∈ PowerSeries(X;r)⌝⋅xxx }

1
.....assertion..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. 0 = fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k)) ∈ PowerSeries(X;r)
⊢ fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
= fps-summation(r;[k∈upto(m + 1)|(k =z 0) ∨b(k =z n)];k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
∈ PowerSeries(X;r)

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. 0 = fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k)) ∈ PowerSeries(X;r)
11. fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
= fps-summation(r;[k∈upto(m + 1)|(k =z 0) ∨b(k =z n)];k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
∈ PowerSeries(X;r)
⊢ fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
= (([(1-g)]_0*[(1÷(1-g))]_m - 0)+([(1-g)]_n*[(1÷(1-g))]_m - n))
∈ PowerSeries(X;r)

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Latex:

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Latex:
.....equality..... 
1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  m  :  \mBbbN{}
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}m  +  1
7.  g  :  PowerSeries(X;r)
8.  g  =  [g]\_n
9.  IsRing(PowerSeries(X;r);\mlambda{}f,g.  (f+g);0;\mlambda{}f.-(f);\mlambda{}f,g.  (f*g);1)
10.  0  =  fps-summation(r;upto(m  +  1);k.([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k))
\mvdash{}  fps-summation(r;upto(m  +  1);k.([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k))
=  (([(1-g)]\_0*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  0)+([(1-g)]\_n*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  n))


By

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Latex:
xxxAssert  \mkleeneopen{}fps-summation(r;upto(m  +  1);k.([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k))
                      =  fps-summation(r;[k\mmember{}upto(m  +  1)|(k  =\msubz{}  0)  \mvee{}\msubb{}(k  =\msubz{}  n)];k.([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k))\mkleeneclose{}
\mcdot{}xxx

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