---

Step * 2 of Lemma lower-rc-face-dimension


1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. j : ℕk
4. dim(c j) ≠ 0
5. ↑Inhabited(c)
6. ↑Inhabited(c j)
7. ↑Inhabited(c)
8. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[j] + Σ(if (x =z j) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing j < n
⊢ (dim([fst((c j))]) + Σ(if (i =z j) then 0 else dim(if (i =z j) then [fst((c i))] else c i fi ) fi  | i < k))
= ((dim(c j) + Σ(if (i =z j) then 0 else dim(c i) fi  | i < k)) - 1)
∈ ℤ
BY
{ ((Thin (-2) THEN Thin (-3))
   THEN (Assert dim(c j) = 1 ∈ ℤ BY
               (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-2))
                THEN (GenConclTerm ⌜c j⌝⋅ THENA Auto)
                THEN D -2
                THEN RepUR ``rat-interval-dimension inhabited-rat-interval`` 0
                THEN AutoSplit))
   THEN (Subst' (dim(c j) + Σ(if (i =z j) then 0 else dim(c i) fi  | i < k)) - 1 ~ (dim(c j) - 1)
         + Σ(if (i =z j) then 0 else dim(c i) fi  | i < k) 0
         THENA Auto
         )
   THEN EqCDA) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. j : ℕk
4. dim(c j) ≠ 0
5. ↑Inhabited(c j)
6. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[j] + Σ(if (x =z j) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing j < n
7. dim(c j) = 1 ∈ ℤ
⊢ dim([fst((c j))]) = (dim(c j) - 1) ∈ ℤ

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. j : ℕk
4. dim(c j) ≠ 0
5. ↑Inhabited(c j)
6. ∀[n:ℕ]. ∀[f:ℕn ⟶ ℤ].  Σ(f[x] | x < n) = (f[j] + Σ(if (x =z j) then 0 else f[x] fi  | x < n)) ∈ ℤ supposing j < n
7. dim(c j) = 1 ∈ ℤ
⊢ Σ(if (i =z j) then 0 else dim(if (i =z j) then [fst((c i))] else c i fi ) fi  | i < k)
= Σ(if (i =z j) then 0 else dim(c i) fi  | i < k)
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  j  :  \mBbbN{}k
4.  dim(c  j)  \mneq{}  0
5.  \muparrow{}Inhabited(c)
6.  \muparrow{}Inhabited(c  j)
7.  \muparrow{}Inhabited(c)
8.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
          \mSigma{}(f[x]  |  x  <  n)  =  (f[j]  +  \mSigma{}(if  (x  =\msubz{}  j)  then  0  else  f[x]  fi    |  x  <  n))  supposing  j  <  n
\mvdash{}  (dim([fst((c  j))])
+  \mSigma{}(if  (i  =\msubz{}  j)  then  0  else  dim(if  (i  =\msubz{}  j)  then  [fst((c  i))]  else  c  i  fi  )  fi    |  i  <  k))
=  ((dim(c  j)  +  \mSigma{}(if  (i  =\msubz{}  j)  then  0  else  dim(c  i)  fi    |  i  <  k))  -  1)


By

---

Latex:
((Thin  (-2)  THEN  Thin  (-3))
  THEN  (Assert  dim(c  j)  =  1  BY
                          (RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-2))
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}c  j\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  D  -2
                            THEN  RepUR  ``rat-interval-dimension  inhabited-rat-interval``  0
                            THEN  AutoSplit))
  THEN  (Subst'  (dim(c  j)  +  \mSigma{}(if  (i  =\msubz{}  j)  then  0  else  dim(c  i)  fi    |  i  <  k))  -  1  \msim{}  (dim(c  j)  -  1)
              +  \mSigma{}(if  (i  =\msubz{}  j)  then  0  else  dim(c  i)  fi    |  i  <  k)  0
              THENA  Auto
              )
  THEN  EqCDA)

---

Home Index