---

Step * 1 of Lemma rat-complex-boundary-remove1


1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. c : ℚCube(k)
5. (c ∈ K)
6. f : ℚCube(k)
7. c1 : ℚCube(k)
8. (c1 ∈ K) ∧ (¬(c1 = c ∈ ℚCube(k)))
9. ↑Inhabited(c1)
10. f ≤ c1
11. dim(f) = (dim(c1) - 1) ∈ ℤ
12. ↑in-complex-boundary(k;f;rat-cube-sub-complex(λa.(¬brceq(k;a;c));K))
⊢ (((∃c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ∧ (↑Inhabited(c)) ∧ f ≤ c ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))) ∧ (↑in-complex-boundary(k;f;K)))
∧ (¬f ≤ c))
∨ ((¬((∃c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ∧ (↑Inhabited(c)) ∧ f ≤ c ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))) ∧ (↑in-complex-boundary(k;f;K))))
  ∧ f ≤ c
  ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))
BY
{ ((BoolCase ⌜is-rat-cube-face(k;f;c)⌝⋅ THENA Auto) THEN (All (RWO "assert-is-rat-cube-face") THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. c : ℚCube(k)
5. (c ∈ K)
6. f : ℚCube(k)
7. c1 : ℚCube(k)
8. (c1 ∈ K) ∧ (¬(c1 = c ∈ ℚCube(k)))
9. ↑Inhabited(c1)
10. f ≤ c1
11. dim(f) = (dim(c1) - 1) ∈ ℤ
12. ↑in-complex-boundary(k;f;rat-cube-sub-complex(λa.(¬brceq(k;a;c));K))
13. f ≤ c
⊢ (((∃c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ∧ (↑Inhabited(c)) ∧ f ≤ c ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))) ∧ (↑in-complex-boundary(k;f;K)))
∧ (¬f ≤ c))
∨ ((¬((∃c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ∧ (↑Inhabited(c)) ∧ f ≤ c ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))) ∧ (↑in-complex-boundary(k;f;K))))
  ∧ f ≤ c
  ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))

2
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. c : ℚCube(k)
5. (c ∈ K)
6. f : ℚCube(k)
7. ¬f ≤ c
8. c1 : ℚCube(k)
9. (c1 ∈ K) ∧ (¬(c1 = c ∈ ℚCube(k)))
10. ↑Inhabited(c1)
11. f ≤ c1
12. dim(f) = (dim(c1) - 1) ∈ ℤ
13. ↑in-complex-boundary(k;f;rat-cube-sub-complex(λa.(¬brceq(k;a;c));K))
⊢ (((∃c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ∧ (↑Inhabited(c)) ∧ f ≤ c ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))) ∧ (↑in-complex-boundary(k;f;K)))
∧ (¬f ≤ c))
∨ ((¬((∃c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ∧ (↑Inhabited(c)) ∧ f ≤ c ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))) ∧ (↑in-complex-boundary(k;f;K))))
  ∧ f ≤ c
  ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  K  :  n-dim-complex
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  (c  \mmember{}  K)
6.  f  :  \mBbbQ{}Cube(k)
7.  c1  :  \mBbbQ{}Cube(k)
8.  (c1  \mmember{}  K)  \mwedge{}  (\mneg{}(c1  =  c))
9.  \muparrow{}Inhabited(c1)
10.  f  \mleq{}  c1
11.  dim(f)  =  (dim(c1)  -  1)
12.  \muparrow{}in-complex-boundary(k;f;rat-cube-sub-complex(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}rceq(k;a;c));K))
\mvdash{}  (((\mexists{}c:\mBbbQ{}Cube(k).  ((c  \mmember{}  K)  \mwedge{}  (\muparrow{}Inhabited(c))  \mwedge{}  f  \mleq{}  c  \mwedge{}  (dim(f)  =  (dim(c)  -  1))))
\mwedge{}  (\muparrow{}in-complex-boundary(k;f;K)))
\mwedge{}  (\mneg{}f  \mleq{}  c))
\mvee{}  ((\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbQ{}Cube(k).  ((c  \mmember{}  K)  \mwedge{}  (\muparrow{}Inhabited(c))  \mwedge{}  f  \mleq{}  c  \mwedge{}  (dim(f)  =  (dim(c)  -  1))))
      \mwedge{}  (\muparrow{}in-complex-boundary(k;f;K))))
    \mwedge{}  f  \mleq{}  c
    \mwedge{}  (dim(f)  =  (dim(c)  -  1)))


By

---

Latex:
((BoolCase  \mkleeneopen{}is-rat-cube-face(k;f;c)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (All  (RWO  "assert-is-rat-cube-face")  THENA  Auto)
  )

---

Home Index