---

Step * 1 1 2 1 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : A:cat-ob(B) ⟶ (cat-arrow(B) (F (G A)) A)
6. ∀A,B@0:cat-ob(B). ∀g:cat-arrow(B) A B@0.
     ((cat-comp(B) (F (G A)) A B@0 (a1 A) g)
     = (cat-comp(B) (F (G A)) (F (G B@0)) B@0 (F (G A) (G B@0) (G A B@0 g)) (a1 B@0))
     ∈ (cat-arrow(B) (F (G A)) B@0))
7. a2 : A@0:cat-ob(A) ⟶ (cat-arrow(A) A@0 (G (F A@0)))
8. ∀A@0,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A@0 B.
     ((cat-comp(A) A@0 (G (F A@0)) (G (F B)) (a2 A@0) (G (F A@0) (F B) (F A@0 B g)))
     = (cat-comp(A) A@0 B (G (F B)) g (a2 B))
     ∈ (cat-arrow(A) A@0 (G (F B))))
9. ∀d:cat-ob(A)
     ((cat-comp(B) (F d) (F (G (F d))) (F d) (F d (G (F d)) ((snd(<a1, a2>)) d)) ((fst(<a1, a2>)) (F d)))
     = (cat-id(B) (F d))
     ∈ (cat-arrow(B) (F d) (F d)))
10. ∀c:cat-ob(B)
      ((cat-comp(A) (G c) (G (F (G c))) (G c) ((snd(<a1, a2>)) (G c)) (G (F (G c)) c ((fst(<a1, a2>)) c)))
      = (cat-id(A) (G c))
      ∈ (cat-arrow(A) (G c) (G c)))
11. A1 : cat-ob(A)@i
12. B1 : cat-ob(A)@i
13. g : cat-arrow(A) A1 B1@i
⊢ (cat-comp(A) (G (F (G (F A1)))) (G (F A1)) (G (F B1)) (G (F (G (F A1))) (F A1) (a1 (F A1))) 
   (G (F A1) (F B1) (F A1 B1 g)))
= (cat-comp(A) (G (F (G (F A1)))) (G (F (G (F B1)))) (G (F B1)) 
   (G (F (G (F A1))) (F (G (F B1))) (F (G (F A1)) (G (F B1)) (G (F A1) (F B1) (F A1 B1 g)))) 
   (G (F (G (F B1))) (F B1) (a1 (F B1))))
∈ (cat-arrow(A) (G (F (G (F A1)))) (G (F B1)))
BY
{ ((RWO "functor-arrow-comp<" 0 THENA Auto) THEN RWO "6<" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  A:cat-ob(B)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(B)  (F  (G  A))  A)
6.  \mforall{}A,B@0:cat-ob(B).  \mforall{}g:cat-arrow(B)  A  B@0.
          ((cat-comp(B)  (F  (G  A))  A  B@0  (a1  A)  g)
          =  (cat-comp(B)  (F  (G  A))  (F  (G  B@0))  B@0  (F  (G  A)  (G  B@0)  (G  A  B@0  g))  (a1  B@0)))
7.  a2  :  A@0:cat-ob(A)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(A)  A@0  (G  (F  A@0)))
8.  \mforall{}A@0,B:cat-ob(A).  \mforall{}g:cat-arrow(A)  A@0  B.
          ((cat-comp(A)  A@0  (G  (F  A@0))  (G  (F  B))  (a2  A@0)  (G  (F  A@0)  (F  B)  (F  A@0  B  g)))
          =  (cat-comp(A)  A@0  B  (G  (F  B))  g  (a2  B)))
9.  \mforall{}d:cat-ob(A)
          ((cat-comp(B)  (F  d)  (F  (G  (F  d)))  (F  d)  (F  d  (G  (F  d))  ((snd(<a1,  a2>))  d))  ((fst(<a1,  a2>))  (F\000C  d)))
          =  (cat-id(B)  (F  d)))
10.  \mforall{}c:cat-ob(B)
            ((cat-comp(A)  (G  c)  (G  (F  (G  c)))  (G  c)  ((snd(<a1,  a2>))  (G  c))  (G  (F  (G  c))  c  ((fst(<a1,  a2>)\000C)  c)))
            =  (cat-id(A)  (G  c)))
11.  A1  :  cat-ob(A)@i
12.  B1  :  cat-ob(A)@i
13.  g  :  cat-arrow(A)  A1  B1@i
\mvdash{}  (cat-comp(A)  (G  (F  (G  (F  A1))))  (G  (F  A1))  (G  (F  B1))  (G  (F  (G  (F  A1)))  (F  A1)  (a1  (F  A1))) 
      (G  (F  A1)  (F  B1)  (F  A1  B1  g)))
=  (cat-comp(A)  (G  (F  (G  (F  A1))))  (G  (F  (G  (F  B1))))  (G  (F  B1)) 
      (G  (F  (G  (F  A1)))  (F  (G  (F  B1)))  (F  (G  (F  A1))  (G  (F  B1))  (G  (F  A1)  (F  B1)  (F  A1  B1  g)))) 
      (G  (F  (G  (F  B1)))  (F  B1)  (a1  (F  B1))))


By

---

Latex:
((RWO  "functor-arrow-comp<"  0  THENA  Auto)  THEN  RWO  "6<"  0  THEN  Auto)

---

Home Index