---

Step * 3 1 1 of Lemma ext-equal-presheaves-equiv-rel


1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.(∀x:cat-ob(C). F x ≡ G x)
∧ (∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((F x y f) = (G x y f) ∈ ((F x) ⟶ (F y)))))
3. a : Presheaf(C)@i'
4. b : Presheaf(C)@i'
5. c : Presheaf(C)@i'
6. ∀x:cat-ob(C). a x ≡ b x
7. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((a x y f) = (b x y f) ∈ ((a x) ⟶ (a y)))
8. ∀x:cat-ob(C). b x ≡ c x
9. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((b x y f) = (c x y f) ∈ ((b x) ⟶ (b y)))
10. ∀x:cat-ob(C). a x ≡ c x
11. ∀x:cat-ob(C). a x ≡ c x
12. x : cat-ob(C)@i
13. y : cat-ob(C)@i
14. f : cat-arrow(C) y x@i
15. (a x y f) = (b x y f) ∈ ((a x) ⟶ (a y))
16. (b x y f) = (c x y f) ∈ ((b x) ⟶ (b y))
⊢ (a x y f) = (c x y f) ∈ ((a x) ⟶ (a y))
BY
{ (FunExt THENW Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.(∀x:cat-ob(C). F x ≡ G x)
∧ (∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((F x y f) = (G x y f) ∈ ((F x) ⟶ (F y)))))
3. a : Presheaf(C)@i'
4. b : Presheaf(C)@i'
5. c : Presheaf(C)@i'
6. ∀x:cat-ob(C). a x ≡ b x
7. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((a x y f) = (b x y f) ∈ ((a x) ⟶ (a y)))
8. ∀x:cat-ob(C). b x ≡ c x
9. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((b x y f) = (c x y f) ∈ ((b x) ⟶ (b y)))
10. ∀x:cat-ob(C). a x ≡ c x
11. ∀x:cat-ob(C). a x ≡ c x
12. x : cat-ob(C)@i
13. y : cat-ob(C)@i
14. f : cat-arrow(C) y x@i
15. (a x y f) = (b x y f) ∈ ((a x) ⟶ (a y))
16. (b x y f) = (c x y f) ∈ ((b x) ⟶ (b y))
17. x1 : a x
⊢ (a x y f x1) = (c x y f x1) ∈ (a y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  Sym(Presheaf(C);F,G.(\mforall{}x:cat-ob(C).  F  x  \mequiv{}  G  x)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  y  x.    ((F  x  y  f)  =  (G  x  y  f))))
3.  a  :  Presheaf(C)@i'
4.  b  :  Presheaf(C)@i'
5.  c  :  Presheaf(C)@i'
6.  \mforall{}x:cat-ob(C).  a  x  \mequiv{}  b  x
7.  \mforall{}x,y:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  y  x.    ((a  x  y  f)  =  (b  x  y  f))
8.  \mforall{}x:cat-ob(C).  b  x  \mequiv{}  c  x
9.  \mforall{}x,y:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  y  x.    ((b  x  y  f)  =  (c  x  y  f))
10.  \mforall{}x:cat-ob(C).  a  x  \mequiv{}  c  x
11.  \mforall{}x:cat-ob(C).  a  x  \mequiv{}  c  x
12.  x  :  cat-ob(C)@i
13.  y  :  cat-ob(C)@i
14.  f  :  cat-arrow(C)  y  x@i
15.  (a  x  y  f)  =  (b  x  y  f)
16.  (b  x  y  f)  =  (c  x  y  f)
\mvdash{}  (a  x  y  f)  =  (c  x  y  f)


By

---

Latex:
(FunExt  THENW  Auto)

---

Home Index