---

Step * 1 1 1 1 of Lemma functor-uncurry_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. C : SmallCategory
4. f : Functor(A;FUN(B;C))
5. g : Functor(A;FUN(B;C))
6. T : nat-trans(A;FUN(B;C);f;g)
7. a1 : cat-ob(A)
8. b1 : cat-ob(B)
9. a2 : cat-ob(A)
10. b2 : cat-ob(B)
11. xa : cat-arrow(A) a1 a2
12. xb : cat-arrow(B) b1 b2
13. T a1 o g a1 a2 xa = f a1 a2 xa o T a2 ∈ (A:cat-ob(B) ⟶ (cat-arrow(C) (f a1 A) (g a2 A)))
14. ∀A,B@0:cat-ob(B). ∀g@0:cat-arrow(B) A B@0.
      ((cat-comp(C) (f a1 A) (g a2 A) (g a2 B@0) (T a1 o g a1 a2 xa A) (g a2 A B@0 g@0))
      = (cat-comp(C) (f a1 A) (f a1 B@0) (g a2 B@0) (f a1 A B@0 g@0) (T a1 o g a1 a2 xa B@0))
      ∈ (cat-arrow(C) (f a1 A) (g a2 B@0)))
⊢ (cat-comp(C) (f a1 b1) (g a1 b2) (g a2 b2) (cat-comp(C) (f a1 b1) (f a1 b2) (g a1 b2) (f a1 b1 b2 xb) (T a1 b2)) 
   (g a1 a2 xa b2))
= (cat-comp(C) (f a1 b1) (f a2 b2) (g a2 b2) 
   (cat-comp(C) (f a1 b1) (f a1 b2) (f a2 b2) (f a1 b1 b2 xb) (f a1 a2 xa b2)) 
   (T a2 b2))
∈ (cat-arrow(C) (f a1 b1) (g a2 b2))
BY
{ ((Assert ⌜∀b:cat-ob(B). ((T a1 o g a1 a2 xa b) = (f a1 a2 xa o T a2 b) ∈ (cat-arrow(C) (f a1 b) (g a2 b)))⌝⋅
    THENA Auto
    )
   THEN Reduce -1
   THEN (RWO "cat-comp-assoc" 0 THENA Auto)
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  C  :  SmallCategory
4.  f  :  Functor(A;FUN(B;C))
5.  g  :  Functor(A;FUN(B;C))
6.  T  :  nat-trans(A;FUN(B;C);f;g)
7.  a1  :  cat-ob(A)
8.  b1  :  cat-ob(B)
9.  a2  :  cat-ob(A)
10.  b2  :  cat-ob(B)
11.  xa  :  cat-arrow(A)  a1  a2
12.  xb  :  cat-arrow(B)  b1  b2
13.  T  a1  o  g  a1  a2  xa  =  f  a1  a2  xa  o  T  a2
14.  \mforall{}A,B@0:cat-ob(B).  \mforall{}g@0:cat-arrow(B)  A  B@0.
            ((cat-comp(C)  (f  a1  A)  (g  a2  A)  (g  a2  B@0)  (T  a1  o  g  a1  a2  xa  A)  (g  a2  A  B@0  g@0))
            =  (cat-comp(C)  (f  a1  A)  (f  a1  B@0)  (g  a2  B@0)  (f  a1  A  B@0  g@0)  (T  a1  o  g  a1  a2  xa  B@0)))
\mvdash{}  (cat-comp(C)  (f  a1  b1)  (g  a1  b2)  (g  a2  b2) 
      (cat-comp(C)  (f  a1  b1)  (f  a1  b2)  (g  a1  b2)  (f  a1  b1  b2  xb)  (T  a1  b2)) 
      (g  a1  a2  xa  b2))
=  (cat-comp(C)  (f  a1  b1)  (f  a2  b2)  (g  a2  b2) 
      (cat-comp(C)  (f  a1  b1)  (f  a1  b2)  (f  a2  b2)  (f  a1  b1  b2  xb)  (f  a1  a2  xa  b2)) 
      (T  a2  b2))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}b:cat-ob(B).  ((T  a1  o  g  a1  a2  xa  b)  =  (f  a1  a2  xa  o  T  a2  b))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  -1
  THEN  (RWO  "cat-comp-assoc"  0  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index