---

Step * 3 1 1 1 of Lemma presheaf-element-map_wf

.....set predicate..... 
1. C : SmallCategory
2. A : Presheaf(C)
3. B : Presheaf(C)
4. m : A ⟶ B
5. A@0 : cat-ob(op-cat(C))@i
6. p1 : A A@0@i
7. A1 : cat-ob(op-cat(C))@i
8. q1 : A A1@i
9. A2 : cat-ob(op-cat(C))@i
10. z1 : A A2@i
11. f : cat-arrow(op-cat(C)) A1 A@0@i
12. (A A1 A@0 f q1) = p1 ∈ (A A@0)
13. g : cat-arrow(op-cat(C)) A2 A1@i
14. (A A2 A1 g z1) = q1 ∈ (A A1)
⊢ (B A2 A@0 (cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f) (m A2 z1)) = (m A@0 p1) ∈ (B A@0)
BY
{ (D 4 THEN RepUR ``type-cat`` 5 THEN (InstHyp [⌜A2⌝;⌜A@0⌝;⌜cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f⌝] 5⋅ THENA Auto)) }

1
1. C : SmallCategory
2. A : Presheaf(C)
3. B : Presheaf(C)
4. m : A@0:cat-ob(op-cat(C)) ⟶ (cat-arrow(TypeCat) (A A@0) (B A@0))
5. ∀A@0,B@0:cat-ob(op-cat(C)). ∀g:cat-arrow(op-cat(C)) A@0 B@0.
     (((B A@0 B@0 g) o (m A@0)) = ((m B@0) o (A A@0 B@0 g)) ∈ ((A A@0) ⟶ (B B@0)))
6. A@0 : cat-ob(op-cat(C))@i
7. p1 : A A@0@i
8. A1 : cat-ob(op-cat(C))@i
9. q1 : A A1@i
10. A2 : cat-ob(op-cat(C))@i
11. z1 : A A2@i
12. f : cat-arrow(op-cat(C)) A1 A@0@i
13. (A A1 A@0 f q1) = p1 ∈ (A A@0)
14. g : cat-arrow(op-cat(C)) A2 A1@i
15. (A A2 A1 g z1) = q1 ∈ (A A1)
16. ((B A2 A@0 (cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f)) o (m A2))
= ((m A@0) o (A A2 A@0 (cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f)))
∈ ((A A2) ⟶ (B A@0))
⊢ (B A2 A@0 (cat-comp(op-cat(C)) A2 A1 A@0 g f) (m A2 z1)) = (m A@0 p1) ∈ (B A@0)

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  C  :  SmallCategory
2.  A  :  Presheaf(C)
3.  B  :  Presheaf(C)
4.  m  :  A  {}\mrightarrow{}  B
5.  A@0  :  cat-ob(op-cat(C))@i
6.  p1  :  A  A@0@i
7.  A1  :  cat-ob(op-cat(C))@i
8.  q1  :  A  A1@i
9.  A2  :  cat-ob(op-cat(C))@i
10.  z1  :  A  A2@i
11.  f  :  cat-arrow(op-cat(C))  A1  A@0@i
12.  (A  A1  A@0  f  q1)  =  p1
13.  g  :  cat-arrow(op-cat(C))  A2  A1@i
14.  (A  A2  A1  g  z1)  =  q1
\mvdash{}  (B  A2  A@0  (cat-comp(op-cat(C))  A2  A1  A@0  g  f)  (m  A2  z1))  =  (m  A@0  p1)


By

---

Latex:
(D  4
  THEN  RepUR  ``type-cat``  5
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}A2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A@0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}cat-comp(op-cat(C))  A2  A1  A@0  g  f\mkleeneclose{}]  5\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index